Elementarmathematik Beispiele

$(3 - 2 x + 2 x^{2}) - (4 x - 5 + 3 x^{2})$

Schritt 1

Schreibe $(3 - 2 x + 2 x^{2}) - (4 x - 5 + 3 x^{2})$ als Funktion.

$f (x) = (3 - 2 x + 2 x^{2}) - (4 x - 5 + 3 x^{2})$

Schritt 2

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 3

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 3.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = (3 - 2 (x + h) + 2 {(x + h)}^{2}) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 {(x + h)}^{2} - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Schritt 3.1.2.1.2

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 ((x + h) (x + h)) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Schritt 3.1.2.1.3

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 (x (x + h) + h (x + h)) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Schritt 3.1.2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Schritt 3.1.2.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Schritt 3.1.2.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1.2.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Schritt 3.1.2.1.4.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Schritt 3.1.2.1.4.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 3.1.2.1.4.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Schritt 3.1.2.1.4.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Schritt 3.1.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Schritt 3.1.2.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Schritt 3.1.2.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Schritt 3.1.2.1.7.2

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 ((x + h) (x + h)))$

Schritt 3.1.2.1.7.3

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.2.1.7.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 (x (x + h) + h (x + h)))$

Schritt 3.1.2.1.7.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 (x \cdot x + x h + h (x + h)))$

Schritt 3.1.2.1.7.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h))$

Schritt 3.1.2.1.7.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1.2.1.7.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.7.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h))$

Schritt 3.1.2.1.7.4.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2}))$

Schritt 3.1.2.1.7.4.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 3.1.2.1.7.4.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2}))$

Schritt 3.1.2.1.7.4.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}))$

Schritt 3.1.2.1.7.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 x^{2} + 3 (2 h x) + 3 h^{2})$

Schritt 3.1.2.1.7.6

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2})$

Schritt 3.1.2.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x) - (4 h) + 5 - (3 x^{2}) - (6 h x) - (3 h^{2})$

Schritt 3.1.2.1.9

Vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1.9.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - (4 h) + 5 - (3 x^{2}) - (6 h x) - (3 h^{2})$

Schritt 3.1.2.1.9.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - 4 h + 5 - (3 x^{2}) - (6 h x) - (3 h^{2})$

Schritt 3.1.2.1.9.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - 4 h + 5 - (3 x^{2}) - (6 h x) - (3 h^{2})$

Schritt 3.1.2.1.9.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - 4 h + 5 - 3 x^{2} - (6 h x) - (3 h^{2})$

Schritt 3.1.2.1.9.5

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - 4 h + 5 - 3 x^{2} - 6 (h x) - (3 h^{2})$

Schritt 3.1.2.1.9.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - 4 h + 5 - 3 x^{2} - 6 (h x) - 3 h^{2}$

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - 4 h + 5 - 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.1.2.2.1

Addiere $3$ und $5$ .

$f (x + h) = - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - 4 h + 8 - 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2}$

Schritt 3.1.2.2.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 2 x$ .

$f (x + h) = - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 6 x - 4 h + 8 - 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2}$

Schritt 3.1.2.2.3

Subtrahiere $4 h$ von $- 2 h$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 6 x - 6 h + 8 - 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2}$

Schritt 3.1.2.2.4

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$f (x + h) = - x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 6 x - 6 h + 8 - 6 h x - 3 h^{2}$

Schritt 3.1.2.2.5

Subtrahiere $6 h x$ von $4 h x$ .

$f (x + h) = - x^{2} - 2 h x + 2 h^{2} - 6 x - 6 h + 8 - 3 h^{2}$

Schritt 3.1.2.2.6

Subtrahiere $3 h^{2}$ von $2 h^{2}$ .

$f (x + h) = - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 6 x - 6 h + 8$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $- x^{2} - 2 h x - h^{2} - 6 x - 6 h + 8$ .

$- x^{2} - 2 h x - h^{2} - 6 x - 6 h + 8$

Schritt 3.2

Stelle um.

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Schritt 3.2.1

Bewege $- 6 x$ .

$- x^{2} - 2 h x - h^{2} - 6 h - 6 x + 8$

Schritt 3.2.2

Bewege $- x^{2}$ .

$- 2 h x - h^{2} - x^{2} - 6 h - 6 x + 8$

Schritt 3.2.3

Stelle $- 2 h x$ und $- h^{2}$ um.

$- h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8$

Schritt 3.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8$

$f (x) = - x^{2} - 6 x + 8$

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8$

$f (x) = - x^{2} - 6 x + 8$

Schritt 4

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8 - (- x^{2} - 6 x + 8)}{h}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8 - - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 8}{h}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache.

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Schritt 5.1.2.1

Multipliziere $- - x^{2}$ .

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Schritt 5.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8 + 1 x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 8}{h}$

Schritt 5.1.2.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8 + x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 8}{h}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8 + x^{2} + 6 x - 1 \cdot 8}{h}$

Schritt 5.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8 + x^{2} + 6 x - 8}{h}$

Schritt 5.1.3

Addiere $- x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - 6 h - 6 x + 8 + 0 + 6 x - 8}{h}$

Schritt 5.1.4

Addiere $- h^{2}$ und $0$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - 6 h - 6 x + 8 + 6 x - 8}{h}$

Schritt 5.1.5

Addiere $- 6 x$ und $6 x$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - 6 h + 0 + 8 - 8}{h}$

Schritt 5.1.6

Addiere $- h^{2}$ und $0$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - 6 h + 8 - 8}{h}$

Schritt 5.1.7

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - 6 h + 0}{h}$

Schritt 5.1.8

Addiere $- h^{2} - 2 h x - 6 h$ und $0$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - 6 h}{h}$

Schritt 5.1.9

Faktorisiere $h$ aus $- h^{2} - 2 h x - 6 h$ heraus.

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Schritt 5.1.9.1

Faktorisiere $h$ aus $- h^{2}$ heraus.

$\frac{h (- h) - 2 h x - 6 h}{h}$

Schritt 5.1.9.2

Faktorisiere $h$ aus $- 2 h x$ heraus.

$\frac{h (- h) + h (- 2 x) - 6 h}{h}$

Schritt 5.1.9.3

Faktorisiere $h$ aus $- 6 h$ heraus.

$\frac{h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot - 6}{h}$

Schritt 5.1.9.4

Faktorisiere $h$ aus $h (- h) + h (- 2 x)$ heraus.

$\frac{h (- h - 2 x) + h \cdot - 6}{h}$

Schritt 5.1.9.5

Faktorisiere $h$ aus $h (- h - 2 x) + h \cdot - 6$ heraus.

$\frac{h (- h - 2 x - 6)}{h}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h (- h - 2 x - 6)}{h}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $- h - 2 x - 6$ durch $1$ .

$- h - 2 x - 6$

Schritt 5.2.2

Stelle $- h$ und $- 2 x$ um.

$- 2 x - h - 6$

Schritt 6