Elementarmathematik Beispiele

$y = \frac{2 x^{2} + 5 x - 3}{x + 3}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{2 x^{2} + 5 x - 3}{x + 3}$ nicht definiert ist.

$x = - 3$

Schritt 2

Die vertikalen Asymptoten treten in Bereichen einer unendlichen Unstetigkeit auf.

Keine vertikalen Asymptoten

Schritt 3

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Schritt 5

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 6

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 6.1.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 6.1.1.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{2 x^{2} + 5 (x) - 3}{x + 3}$

Schritt 6.1.1.1.2

Schreibe $5$ um als $- 1$ plus $6$

$\frac{2 x^{2} + (- 1 + 6) x - 3}{x + 3}$

Schritt 6.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - 1 x + 6 x - 3}{x + 3}$

Schritt 6.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 6.1.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(2 x^{2} - 1 x) + 6 x - 3}{x + 3}$

Schritt 6.1.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1)}{x + 3}$

Schritt 6.1.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

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Schritt 6.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 6.1.2.2

Dividiere $2 x - 1$ durch $1$ .

$2 x - 1$

Schritt 6.2

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = 2 x - 1$

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Keine vertikalen Asymptoten

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = 2 x - 1$

Schritt 8