Elementarmathematik Beispiele

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{12} = 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{12} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 2 \sqrt{3}$

$b = 2$

$k = 1$

$h = 1$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(1, 1)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(2)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{3}$ an.

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} - {(2)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} - {(2)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 5.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2)}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2)}^{2}}$

Schritt 5.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(2)}^{2}}$

Schritt 5.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(2)}^{2}}$

Schritt 5.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{4 \cdot 3^{1} - {(2)}^{2}}$

Schritt 5.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{4 \cdot 3 - {(2)}^{2}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\sqrt{12 - {(2)}^{2}}$

Schritt 5.3.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{12 - 1 \cdot 4}$

Schritt 5.3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\sqrt{12 - 4}$

Schritt 5.3.3.4

Subtrahiere $4$ von $12$ .

$\sqrt{8}$

Schritt 5.3.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\sqrt{4 (2)}$

Schritt 5.3.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Schritt 5.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \sqrt{2}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $a$ zu $k$ ermittelt werden.

$(h, k + a)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(1, 1 + 2 \sqrt{3})$

Schritt 6.3

Der zweite Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Substrahieren von $a$ von $k$ ermittelt werden.

$(h, k - a)$

Schritt 6.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(1, 1 - (2 \sqrt{3}))$

Schritt 6.5

Vereinfache.

$(1, 1 - 2 \sqrt{3})$

Schritt 6.6

Ellipsen haben zwei Scheitelpunkte.

${Vertex}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{3})$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(1, 1 + 2 \sqrt{2})$

Schritt 7.3

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $k$ gefunden werden.

$(h, k - c)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(1, 1 - (2 \sqrt{2}))$

Schritt 7.5

Vereinfache.

$(1, 1 - 2 \sqrt{2})$

Schritt 7.6

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{2})$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(2)}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{3}$ an.

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.1.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 8.3.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{1} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3 - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{12 - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{12 - 1 \cdot 4}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{\sqrt{12 - 4}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.1.7

Subtrahiere $4$ von $12$ .

$\frac{\sqrt{8}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.1.8

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 8.3.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 (2)}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 8.3.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.3.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 8.3.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 8.3.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.3.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.3.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 8.3.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 8.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Schritt 8.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

Schritt 9

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Ellipse dar.

Mittelpunkt: $(1, 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{2})$

Exzentrizität: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Schritt 10