Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x - 7}{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{x - 7}{7}$ als Gleichung.

$y = \frac{x - 7}{7}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y - 7}{7}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y - 7}{7} = x$ um.

$\frac{y - 7}{7} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $7$ .

$7 \frac{y - 7}{7} = 7 x$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 \frac{y - 7}{7} = 7 x$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y - 7 = 7 x$

Schritt 3.4

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 7 x + 7$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 7 x + 7$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 7 x + 7$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x - 7}{7}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{x - 7}{7})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{7}) = 7 (\frac{x - 7}{7}) + 7$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{7}) = 7 (\frac{x - 7}{7}) + 7$

Schritt 5.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{7}) = x - 7 + 7$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 7 + 7$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 7$ und $7$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{7}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{7}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (7 x + 7)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (7 x + 7) = \frac{(7 x + 7) - 7}{7}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $(7 x + 7) - 7$ und $7$ .

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x$ heraus.

$f (7 x + 7) = \frac{7 (x) + 7 - 7}{7}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $7$ aus $7$ heraus.

$f (7 x + 7) = \frac{7 (x) + 7 \cdot 1 - 7}{7}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $7$ aus $7 (x) + 7 (1)$ heraus.

$f (7 x + 7) = \frac{7 (x + 1) - 7}{7}$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere $7$ aus $- 7$ heraus.

$f (7 x + 7) = \frac{7 (x + 1) + 7 \cdot - 1}{7}$

Schritt 5.3.3.5

Faktorisiere $7$ aus $7 (x + 1) + 7 (- 1)$ heraus.

$f (7 x + 7) = \frac{7 (x + 1 - 1)}{7}$

Schritt 5.3.3.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.6.1

Faktorisiere $7$ aus $7$ heraus.

$f (7 x + 7) = \frac{7 (x + 1 - 1)}{7 (1)}$

Schritt 5.3.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (7 x + 7) = \frac{7 (x + 1 - 1)}{7 \cdot 1}$

Schritt 5.3.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (7 x + 7) = \frac{x + 1 - 1}{1}$

Schritt 5.3.3.6.4

Dividiere $x + 1 - 1$ durch $1$ .

$f (7 x + 7) = x + 1 - 1$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 1 - 1$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (7 x + 7) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (7 x + 7) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 7 x + 7$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{x - 7}{7}$ .

$f^{- 1} (x) = 7 x + 7$