Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{2 x + 5}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 48}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{2} + 2 x - 48}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + 2 x - 48 \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} + 2 x - 48 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 48$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 48$ und deren Summe $2$ ist.

$- 6, 8$

Schritt 2.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 6) (x + 8) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 8 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 2.5

Setze $x + 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 8$ gleich $0$ .

$x + 8 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 8$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 6) (x + 8) = 0$ wahr machen.

$x = 6, - 8$

Schritt 2.7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 8$

$- 8 < x < 6$

$x > 6$

Schritt 2.8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 10$

Schritt 2.8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 10)}^{2} + 2 (- 10) - 48 \geq 0$

Schritt 2.8.1.3

Die linke Seite $32$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.8.2

Teste einen Wert im Intervall $- 8 < x < 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 8 < x < 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 2.8.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0)}^{2} + 2 (0) - 48 \geq 0$

Schritt 2.8.2.3

Die linke Seite $- 48$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 2.8.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(8)}^{2} + 2 (8) - 48 \geq 0$

Schritt 2.8.3.3

Die linke Seite $32$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 8$ Wahr

$- 8 < x < 6$ Falsch

$x > 6$ Wahr

$x < - 8$ Wahr

$- 8 < x < 6$ Falsch

$x > 6$ Wahr

Schritt 2.9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 8$ oder $x \geq 6$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{2 x + 5}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 48}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{x^{2} + 2 x - 48} = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x^{2} + 2 x - 48}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 2 x - 48}$ als ${(x^{2} + 2 x - 48)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x^{2} + 2 x - 48)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache ${({(x^{2} + 2 x - 48)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 2 x - 48)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 2 x - 48)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x^{2} + 2 x - 48)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x^{2} + 2 x - 48)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Vereinfache.

$x^{2} + 2 x - 48 = 0^{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x^{2} + 2 x - 48 = 0$

Schritt 4.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 48$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.3.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 48$ und deren Summe $2$ ist.

$- 6, 8$

Schritt 4.3.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 6) (x + 8) = 0$

Schritt 4.3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 8 = 0$

Schritt 4.3.3

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.3.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 4.3.3.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 4.3.4

Setze $x + 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.4.1

Setze $x + 8$ gleich $0$ .

$x + 8 = 0$

Schritt 4.3.4.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 8$

Schritt 4.3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 6) (x + 8) = 0$ wahr machen.

$x = 6, - 8$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 8) \cup (6, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x < - 8, x > 6}$

Schritt 6