Elementarmathematik Beispiele

$g (t) = - {(t - 1)}^{2} + 5$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = t + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $t + h$ .

$g (t + h) = - {((t + h) - 1)}^{2} + 5$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Schreibe ${(t + h - 1)}^{2}$ als $(t + h - 1) (t + h - 1)$ um.

$g (t + h) = - ((t + h - 1) (t + h - 1)) + 5$

Schritt 2.1.2.1.2

Multipliziere $(t + h - 1) (t + h - 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$g (t + h) = - (t \cdot t + t h + t \cdot - 1 + h t + h \cdot h + h \cdot - 1 - 1 t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

Schritt 2.1.2.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.3.1

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$g (t + h) = - (t^{2} + t h + t \cdot - 1 + h t + h \cdot h + h \cdot - 1 - 1 t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

Schritt 2.1.2.1.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $t$ .

$g (t + h) = - (t^{2} + t h - 1 \cdot t + h t + h \cdot h + h \cdot - 1 - 1 t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

Schritt 2.1.2.1.3.3

Schreibe $- 1 t$ als $- t$ um.

$g (t + h) = - (t^{2} + t h - t + h t + h \cdot h + h \cdot - 1 - 1 t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

Schritt 2.1.2.1.3.4

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$g (t + h) = - (t^{2} + t h - t + h t + h^{2} + h \cdot - 1 - 1 t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

Schritt 2.1.2.1.3.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $h$ .

$g (t + h) = - (t^{2} + t h - t + h t + h^{2} - 1 \cdot h - 1 t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

Schritt 2.1.2.1.3.6

Schreibe $- 1 h$ als $- h$ um.

$g (t + h) = - (t^{2} + t h - t + h t + h^{2} - h - 1 t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

Schritt 2.1.2.1.3.7

Schreibe $- 1 t$ als $- t$ um.

$g (t + h) = - (t^{2} + t h - t + h t + h^{2} - h - t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

Schritt 2.1.2.1.3.8

Schreibe $- 1 h$ als $- h$ um.

$g (t + h) = - (t^{2} + t h - t + h t + h^{2} - h - t - h - 1 \cdot - 1) + 5$

Schritt 2.1.2.1.3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$g (t + h) = - (t^{2} + t h - t + h t + h^{2} - h - t - h + 1) + 5$

Schritt 2.1.2.1.4

Addiere $t h$ und $h t$ .

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Schritt 2.1.2.1.4.1

Stelle $t$ und $h$ um.

$g (t + h) = - (t^{2} + h t + h t - t + h^{2} - h - t - h + 1) + 5$

Schritt 2.1.2.1.4.2

Addiere $h t$ und $h t$ .

$g (t + h) = - (t^{2} + 2 h t - t + h^{2} - h - t - h + 1) + 5$

Schritt 2.1.2.1.5

Subtrahiere $t$ von $- t$ .

$g (t + h) = - (t^{2} + 2 h t + h^{2} - h - 2 t - h + 1) + 5$

Schritt 2.1.2.1.6

Subtrahiere $h$ von $- h$ .

$g (t + h) = - (t^{2} + 2 h t + h^{2} - 2 h - 2 t + 1) + 5$

Schritt 2.1.2.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$g (t + h) = - t^{2} - (2 h t) - h^{2} - (- 2 h) - (- 2 t) - 1 \cdot 1 + 5$

Schritt 2.1.2.1.8

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$g (t + h) = - t^{2} - 2 (h t) - h^{2} - (- 2 h) - (- 2 t) - 1 \cdot 1 + 5$

Schritt 2.1.2.1.8.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$g (t + h) = - t^{2} - 2 (h t) - h^{2} + 2 h - (- 2 t) - 1 \cdot 1 + 5$

Schritt 2.1.2.1.8.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$g (t + h) = - t^{2} - 2 (h t) - h^{2} + 2 h + 2 t - 1 \cdot 1 + 5$

Schritt 2.1.2.1.8.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$g (t + h) = - t^{2} - 2 (h t) - h^{2} + 2 h + 2 t - 1 + 5$

$g (t + h) = - t^{2} - 2 h t - h^{2} + 2 h + 2 t - 1 + 5$

Schritt 2.1.2.2

Addiere $- 1$ und $5$ .

$g (t + h) = - t^{2} - 2 h t - h^{2} + 2 h + 2 t + 4$

Schritt 2.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $- t^{2} - 2 h t - h^{2} + 2 h + 2 t + 4$ .

$- t^{2} - 2 h t - h^{2} + 2 h + 2 t + 4$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Bewege $- t^{2}$ .

$- 2 h t - h^{2} - t^{2} + 2 h + 2 t + 4$

Schritt 2.2.2

Stelle $- 2 h t$ und $- h^{2}$ um.

$- h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$g (t + h) = - h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4$

$g (t) = - t^{2} + 2 t + 4$

$g (t + h) = - h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4$

$g (t) = - t^{2} + 2 t + 4$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{g (t + h) - g t}{h} = \frac{- h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4 - (- t^{2} + 2 t + 4)}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4 - - t^{2} - (2 t) - 1 \cdot 4}{h}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Multipliziere $- - t^{2}$ .

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Schritt 4.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4 + 1 t^{2} - (2 t) - 1 \cdot 4}{h}$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4 + t^{2} - (2 t) - 1 \cdot 4}{h}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4 + t^{2} - 2 t - 1 \cdot 4}{h}$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4 + t^{2} - 2 t - 4}{h}$

Schritt 4.1.3

Addiere $- t^{2}$ und $t^{2}$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t + 2 h + 2 t + 4 + 0 - 2 t - 4}{h}$

Schritt 4.1.4

Addiere $- h^{2}$ und $0$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t + 2 h + 2 t + 4 - 2 t - 4}{h}$

Schritt 4.1.5

Subtrahiere $2 t$ von $2 t$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t + 2 h + 0 + 4 - 4}{h}$

Schritt 4.1.6

Addiere $- h^{2}$ und $0$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t + 2 h + 4 - 4}{h}$

Schritt 4.1.7

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t + 2 h + 0}{h}$

Schritt 4.1.8

Addiere $- h^{2} - 2 h t + 2 h$ und $0$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h t + 2 h}{h}$

Schritt 4.1.9

Faktorisiere $h$ aus $- h^{2} - 2 h t + 2 h$ heraus.

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Schritt 4.1.9.1

Faktorisiere $h$ aus $- h^{2}$ heraus.

$\frac{h (- h) - 2 h t + 2 h}{h}$

Schritt 4.1.9.2

Faktorisiere $h$ aus $- 2 h t$ heraus.

$\frac{h (- h) + h (- 2 t) + 2 h}{h}$

Schritt 4.1.9.3

Faktorisiere $h$ aus $2 h$ heraus.

$\frac{h (- h) + h (- 2 t) + h \cdot 2}{h}$

Schritt 4.1.9.4

Faktorisiere $h$ aus $h (- h) + h (- 2 t)$ heraus.

$\frac{h (- h - 2 t) + h \cdot 2}{h}$

Schritt 4.1.9.5

Faktorisiere $h$ aus $h (- h - 2 t) + h \cdot 2$ heraus.

$\frac{h (- h - 2 t + 2)}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h (- h - 2 t + 2)}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $- h - 2 t + 2$ durch $1$ .

$- h - 2 t + 2$

Schritt 4.2.2

Stelle $- h$ und $- 2 t$ um.

$- 2 t - h + 2$

Schritt 5