Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{- x^{2}}{x^{4} - 25}$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$f (x) = \frac{- x^{2}}{{(x^{2})}^{2} - 25}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$f (x) = \frac{- x^{2}}{{(x^{2})}^{2} - 5^{2}}$

Schritt 1.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 5$ .

$f (x) = \frac{- x^{2}}{(x^{2} + 5) (x^{2} - 5)}$

Schritt 1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{(x^{2} + 5) (x^{2} - 5)}$

Schritt 2

Ermittle $f (- x)$ .

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Schritt 2.1

Ermittle $f (- x)$ durch Einsetzen von $- x$ in $f (x)$ für jedes $x$ .

$f (- x) = - \frac{{(- x)}^{2}}{({(- x)}^{2} + 5) ({(- x)}^{2} - 5)}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = - \frac{{(- 1)}^{2} x^{2}}{({(- x)}^{2} + 5) ({(- x)}^{2} - 5)}$

Schritt 2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- x) = - \frac{1 x^{2}}{({(- x)}^{2} + 5) ({(- x)}^{2} - 5)}$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f (- x) = - \frac{x^{2}}{({(- x)}^{2} + 5) ({(- x)}^{2} - 5)}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = - \frac{x^{2}}{({(- 1)}^{2} x^{2} + 5) ({(- x)}^{2} - 5)}$

Schritt 2.3.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- x) = - \frac{x^{2}}{(1 x^{2} + 5) ({(- x)}^{2} - 5)}$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f (- x) = - \frac{x^{2}}{(x^{2} + 5) ({(- x)}^{2} - 5)}$

Schritt 2.3.4

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = - \frac{x^{2}}{(x^{2} + 5) ({(- 1)}^{2} x^{2} - 5)}$

Schritt 2.3.5

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- x) = - \frac{x^{2}}{(x^{2} + 5) (1 x^{2} - 5)}$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f (- x) = - \frac{x^{2}}{(x^{2} + 5) (x^{2} - 5)}$

Schritt 3

Eine Funktion ist gerade, wenn $f (- x) = f (x)$ .

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Schritt 3.1

Prüfe, ob $f (- x) = f (x)$ .

Schritt 3.2

Da $- \frac{x^{2}}{(x^{2} + 5) (x^{2} - 5)} = - \frac{x^{2}}{(x^{2} + 5) (x^{2} - 5)}$ , ist die Funktion gerade.

Die Funktion ist gerade

Schritt 4