Elementarmathematik Beispiele

$y^{2} - 5 x + 12 y = - 16$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $x$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 x + 12 y = - 16 - y^{2}$

Schritt 1.1.1.2

Subtrahiere $12 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 x = - 16 - y^{2} - 12 y$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 5 x = - 16 - y^{2} - 12 y$ durch $- 5$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 5 x = - 16 - y^{2} - 12 y$ durch $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 16}{- 5} + \frac{- y^{2}}{- 5} + \frac{- 12 y}{- 5}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 16}{- 5} + \frac{- y^{2}}{- 5} + \frac{- 12 y}{- 5}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 16}{- 5} + \frac{- y^{2}}{- 5} + \frac{- 12 y}{- 5}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{16}{5} + \frac{- y^{2}}{- 5} + \frac{- 12 y}{- 5}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{16}{5} + \frac{y^{2}}{5} + \frac{- 12 y}{- 5}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{16}{5} + \frac{y^{2}}{5} + \frac{12 y}{5}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{16}{5} + \frac{y^{2}}{5} + \frac{12 y}{5}$ an.

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Schritt 1.2.1

Bewege $\frac{16}{5}$ .

$\frac{y^{2}}{5} + \frac{12 y}{5} + \frac{16}{5}$

Schritt 1.2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{5}$

$b = \frac{12}{5}$

$c = \frac{16}{5}$

Schritt 1.2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{\frac{12}{5}}{2 (\frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{12}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$d = \frac{2 (6)}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 6}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{\frac{1}{5}}$

Schritt 1.2.4.2.3

Mutltipliziere $\frac{6}{5}$ mit $\frac{1}{\frac{1}{5}}$ .

$d = \frac{6}{5 (\frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.4.2.4

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{5}$ .

$d = \frac{6}{\frac{5}{5}}$

Schritt 1.2.4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.2.4.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{6}{\frac{5}{5}}$

Schritt 1.2.4.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{6}{1}$

Schritt 1.2.4.2.6

Dividiere $6$ durch $1$ .

$d = 6$

Schritt 1.2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = \frac{16}{5} - \frac{{(\frac{12}{5})}^{2}}{4 (\frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{12}{5}$ an.

$e = \frac{16}{5} - \frac{\frac{12^{2}}{5^{2}}}{4 (\frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.2

Potenziere $12$ mit $2$ .

$e = \frac{16}{5} - \frac{\frac{144}{5^{2}}}{4 (\frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$e = \frac{16}{5} - \frac{\frac{144}{25}}{4 (\frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{5}$ .

$e = \frac{16}{5} - \frac{\frac{144}{25}}{\frac{4}{5}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = \frac{16}{5} - (\frac{144}{25} \cdot \frac{5}{4})$

Schritt 1.2.5.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $144$ heraus.

$e = \frac{16}{5} - (\frac{4 (36)}{25} \cdot \frac{5}{4})$

Schritt 1.2.5.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{16}{5} - (\frac{4 \cdot 36}{25} \cdot \frac{5}{4})$

Schritt 1.2.5.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{16}{5} - (\frac{36}{25} \cdot 5)$

Schritt 1.2.5.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.5.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$e = \frac{16}{5} - (\frac{36}{5 (5)} \cdot 5)$

Schritt 1.2.5.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{16}{5} - (\frac{36}{5 \cdot 5} \cdot 5)$

Schritt 1.2.5.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{16}{5} - \frac{36}{5}$

Schritt 1.2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{16 - 36}{5}$

Schritt 1.2.5.2.3

Subtrahiere $36$ von $16$ .

$e = \frac{- 20}{5}$

Schritt 1.2.5.2.4

Dividiere $- 20$ durch $5$ .

$e = - 4$

Schritt 1.2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{5} {(y + 6)}^{2} - 4$ ein.

$\frac{1}{5} {(y + 6)}^{2} - 4$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = \frac{1}{5} \cdot {(y + 6)}^{2} - 4$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{5}$

$h = - 4$

$k = - 6$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 4, - 6)$

Schritt 4