Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 8 x^{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 8 x^{5}$ als Gleichung.

$y = 8 x^{5}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 8 y^{5}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $8 y^{5} = x$ um.

$8 y^{5} = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $8 y^{5} = x$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 y^{5} = x$ durch $8$ .

$\frac{8 y^{5}}{8} = \frac{x}{8}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 y^{5}}{8} = \frac{x}{8}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $y^{5}$ durch $1$ .

$y^{5} = \frac{x}{8}$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[5]{\frac{x}{8}}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\sqrt[5]{\frac{x}{8}}$ .

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Schritt 3.4.1

Schreibe $\sqrt[5]{\frac{x}{8}}$ als $\frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}}$ mit $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Schritt 3.4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}}$ mit $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{\sqrt[5]{8} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Schritt 3.4.3.2

Potenziere $\sqrt[5]{8}$ mit $1$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Schritt 3.4.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1 + 4}}$

Schritt 3.4.3.4

Addiere $1$ und $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{5}}$

Schritt 3.4.3.5

Schreibe ${\sqrt[5]{8}}^{5}$ als $8$ um.

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Schritt 3.4.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{8}$ als $8^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{(8^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Schritt 3.4.3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Schritt 3.4.3.5.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

Schritt 3.4.3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.4.3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

Schritt 3.4.3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{1}}$

Schritt 3.4.3.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.4.1

Schreibe ${\sqrt[5]{8}}^{4}$ als $\sqrt[5]{8^{4}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{8^{4}}}{8}$

Schritt 3.4.4.2

Potenziere $8$ mit $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{4096}}{8}$

Schritt 3.4.4.3

Schreibe $4096$ als $4^{5} \cdot 4$ um.

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Schritt 3.4.4.3.1

Faktorisiere $1024$ aus $4096$ heraus.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{1024 (4)}}{8}$

Schritt 3.4.4.3.2

Schreibe $1024$ als $4^{5}$ um.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{4^{5} \cdot 4}}{8}$

Schritt 3.4.4.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \cdot 4 \sqrt[5]{4}}{8}$

Schritt 3.4.4.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{4 \sqrt[5]{x \cdot 4}}{8}$

Schritt 3.4.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.5.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

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Schritt 3.4.5.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt[5]{x \cdot 4}$ heraus.

$y = \frac{4 (\sqrt[5]{x \cdot 4})}{8}$

Schritt 3.4.5.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.5.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{4 \sqrt[5]{x \cdot 4}}{4 \cdot 2}$

Schritt 3.4.5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{4 \sqrt[5]{x \cdot 4}}{4 \cdot 2}$

Schritt 3.4.5.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[5]{x \cdot 4}}{2}$

Schritt 3.4.5.2

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt[5]{x \cdot 4}}{2}$ um.

$y = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 8 x^{5}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (8 x^{5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{\sqrt[5]{4 (8 x^{5})}}{2}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{\sqrt[5]{32 x^{5}}}{2}$

Schritt 5.2.3.2

Schreibe $32 x^{5}$ als ${(2 x)}^{5}$ um.

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{\sqrt[5]{{(2 x)}^{5}}}{2}$

Schritt 5.2.3.3

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (8 x^{5}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 {(\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2})}^{5}$

Schritt 5.3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$ an.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{\sqrt[5]{4 x}}^{5}}{2^{5}})$

Schritt 5.3.4

Schreibe ${\sqrt[5]{4 x}}^{5}$ als $4 x$ um.

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Schritt 5.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{4 x}$ als ${(4 x)}^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{({(4 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{2^{5}})$

Schritt 5.3.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{(4 x)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{2^{5}})$

Schritt 5.3.4.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{(4 x)}^{\frac{5}{5}}}{2^{5}})$

Schritt 5.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{(4 x)}^{\frac{5}{5}}}{2^{5}})$

Schritt 5.3.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{2^{5}})$

Schritt 5.3.4.5

Vereinfache.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{2^{5}})$

Schritt 5.3.5

Potenziere $2$ mit $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{32})$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.3.6.1

Faktorisiere $8$ aus $32$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{8 (4)})$

Schritt 5.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{8 \cdot 4})$

Schritt 5.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 5.3.7.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 8 x^{5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$