Elementarmathematik Beispiele

$h (t) = {(t + 3)}^{2} + 5$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = t + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $t + h$ .

$h (t + h) = {((t + h) + 3)}^{2} + 5$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Schreibe ${(t + h + 3)}^{2}$ als $(t + h + 3) (t + h + 3)$ um.

$h (t + h) = (t + h + 3) (t + h + 3) + 5$

Schritt 2.1.2.1.2

Multipliziere $(t + h + 3) (t + h + 3)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$h (t + h) = t \cdot t + t h + t \cdot 3 + h t + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 t + 3 h + 3 \cdot 3 + 5$

Schritt 2.1.2.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.3.1

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$h (t + h) = t^{2} + t h + t \cdot 3 + h t + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 t + 3 h + 3 \cdot 3 + 5$

Schritt 2.1.2.1.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $t$ .

$h (t + h) = t^{2} + t h + 3 \cdot t + h t + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 t + 3 h + 3 \cdot 3 + 5$

Schritt 2.1.2.1.3.3

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$h (t + h) = t^{2} + t h + 3 t + h t + h^{2} + h \cdot 3 + 3 t + 3 h + 3 \cdot 3 + 5$

Schritt 2.1.2.1.3.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $h$ .

$h (t + h) = t^{2} + t h + 3 t + h t + h^{2} + 3 \cdot h + 3 t + 3 h + 3 \cdot 3 + 5$

Schritt 2.1.2.1.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$h (t + h) = t^{2} + t h + 3 t + h t + h^{2} + 3 h + 3 t + 3 h + 9 + 5$

Schritt 2.1.2.1.4

Addiere $t h$ und $h t$ .

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Schritt 2.1.2.1.4.1

Stelle $t$ und $h$ um.

$h (t + h) = t^{2} + h t + h t + 3 t + h^{2} + 3 h + 3 t + 3 h + 9 + 5$

Schritt 2.1.2.1.4.2

Addiere $h t$ und $h t$ .

$h (t + h) = t^{2} + 2 h t + 3 t + h^{2} + 3 h + 3 t + 3 h + 9 + 5$

Schritt 2.1.2.1.5

Addiere $3 t$ und $3 t$ .

$h (t + h) = t^{2} + 2 h t + h^{2} + 3 h + 6 t + 3 h + 9 + 5$

Schritt 2.1.2.1.6

Addiere $3 h$ und $3 h$ .

$h (t + h) = t^{2} + 2 h t + h^{2} + 6 h + 6 t + 9 + 5$

Schritt 2.1.2.2

Addiere $9$ und $5$ .

$h (t + h) = t^{2} + 2 h t + h^{2} + 6 h + 6 t + 14$

Schritt 2.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $t^{2} + 2 h t + h^{2} + 6 h + 6 t + 14$ .

$t^{2} + 2 h t + h^{2} + 6 h + 6 t + 14$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Bewege $t^{2}$ .

$2 h t + h^{2} + t^{2} + 6 h + 6 t + 14$

Schritt 2.2.2

Stelle $2 h t$ und $h^{2}$ um.

$h^{2} + 2 h t + t^{2} + 6 h + 6 t + 14$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$h (t + h) = h^{2} + 2 h t + t^{2} + 6 h + 6 t + 14$

$h (t) = t^{2} + 6 t + 14$

$h (t + h) = h^{2} + 2 h t + t^{2} + 6 h + 6 t + 14$

$h (t) = t^{2} + 6 t + 14$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{h (t + h) - h t}{h} = \frac{h^{2} + 2 h t + t^{2} + 6 h + 6 t + 14 - (t^{2} + 6 t + 14)}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h^{2} + 2 h t + t^{2} + 6 h + 6 t + 14 - t^{2} - (6 t) - 1 \cdot 14}{h}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{h^{2} + 2 h t + t^{2} + 6 h + 6 t + 14 - t^{2} - 6 t - 1 \cdot 14}{h}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $14$ .

$\frac{h^{2} + 2 h t + t^{2} + 6 h + 6 t + 14 - t^{2} - 6 t - 14}{h}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $t^{2}$ von $t^{2}$ .

$\frac{h^{2} + 2 h t + 6 h + 6 t + 14 + 0 - 6 t - 14}{h}$

Schritt 4.1.4

Addiere $h^{2}$ und $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h t + 6 h + 6 t + 14 - 6 t - 14}{h}$

Schritt 4.1.5

Subtrahiere $6 t$ von $6 t$ .

$\frac{h^{2} + 2 h t + 6 h + 0 + 14 - 14}{h}$

Schritt 4.1.6

Addiere $h^{2}$ und $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h t + 6 h + 14 - 14}{h}$

Schritt 4.1.7

Subtrahiere $14$ von $14$ .

$\frac{h^{2} + 2 h t + 6 h + 0}{h}$

Schritt 4.1.8

Addiere $h^{2} + 2 h t + 6 h$ und $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h t + 6 h}{h}$

Schritt 4.1.9

Faktorisiere $h$ aus $h^{2} + 2 h t + 6 h$ heraus.

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Schritt 4.1.9.1

Faktorisiere $h$ aus $h^{2}$ heraus.

$\frac{h \cdot h + 2 h t + 6 h}{h}$

Schritt 4.1.9.2

Faktorisiere $h$ aus $2 h t$ heraus.

$\frac{h (h) + h (2 t) + 6 h}{h}$

Schritt 4.1.9.3

Faktorisiere $h$ aus $6 h$ heraus.

$\frac{h (h) + h (2 t) + h \cdot 6}{h}$

Schritt 4.1.9.4

Faktorisiere $h$ aus $h (h) + h (2 t)$ heraus.

$\frac{h (h + 2 t) + h \cdot 6}{h}$

Schritt 4.1.9.5

Faktorisiere $h$ aus $h (h + 2 t) + h \cdot 6$ heraus.

$\frac{h (h + 2 t + 6)}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h (h + 2 t + 6)}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $h + 2 t + 6$ durch $1$ .

$h + 2 t + 6$

Schritt 4.2.2

Stelle $h$ und $2 t$ um.

$2 t + h + 6$

Schritt 5