Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt[5]{x} - 6$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt[5]{x} - 6$ als Gleichung.

$y = \sqrt[5]{x} - 6$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt[5]{y} - 6$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt[5]{y} - 6 = x$ um.

$\sqrt[5]{y} - 6 = x$

Schritt 3.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt[5]{y} = x + 6$

Schritt 3.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $5$ . Potenz.

${\sqrt[5]{y}}^{5} = {(x + 6)}^{5}$

Schritt 3.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{y}$ als $y^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

${(y^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(x + 6)}^{5}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(x + 6)}^{5}$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(x + 6)}^{5}$

Schritt 3.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(x + 6)}^{5}$

Schritt 3.4.2.1.2

Vereinfache.

$y = {(x + 6)}^{5}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache ${(x + 6)}^{5}$ .

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Schritt 3.4.3.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$y = x^{5} + 5 x^{4} \cdot 6 + 10 x^{3} \cdot 6^{2} + 10 x^{2} \cdot 6^{3} + 5 x \cdot 6^{4} + 6^{5}$

Schritt 3.4.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$y = x^{5} + 30 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 6^{2} + 10 x^{2} \cdot 6^{3} + 5 x \cdot 6^{4} + 6^{5}$

Schritt 3.4.3.1.2.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$y = x^{5} + 30 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 36 + 10 x^{2} \cdot 6^{3} + 5 x \cdot 6^{4} + 6^{5}$

Schritt 3.4.3.1.2.3

Mutltipliziere $36$ mit $10$ .

$y = x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 10 x^{2} \cdot 6^{3} + 5 x \cdot 6^{4} + 6^{5}$

Schritt 3.4.3.1.2.4

Potenziere $6$ mit $3$ .

$y = x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 10 x^{2} \cdot 216 + 5 x \cdot 6^{4} + 6^{5}$

Schritt 3.4.3.1.2.5

Mutltipliziere $216$ mit $10$ .

$y = x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 5 x \cdot 6^{4} + 6^{5}$

Schritt 3.4.3.1.2.6

Potenziere $6$ mit $4$ .

$y = x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 5 x \cdot 1296 + 6^{5}$

Schritt 3.4.3.1.2.7

Mutltipliziere $1296$ mit $5$ .

$y = x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 6^{5}$

Schritt 3.4.3.1.2.8

Potenziere $6$ mit $5$ .

$y = x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt[5]{x} - 6$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = {\sqrt[5]{x}}^{5} + 5 {\sqrt[5]{x}}^{4} \cdot - 6 + 10 {\sqrt[5]{x}}^{3} {(- 6)}^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.2.1

Schreibe ${\sqrt[5]{x}}^{5}$ als $x$ um.

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Schritt 5.2.3.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{x}$ als $x^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} + 5 {\sqrt[5]{x}}^{4} \cdot - 6 + 10 {\sqrt[5]{x}}^{3} {(- 6)}^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5} + 5 {\sqrt[5]{x}}^{4} \cdot - 6 + 10 {\sqrt[5]{x}}^{3} {(- 6)}^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x^{\frac{5}{5}} + 5 {\sqrt[5]{x}}^{4} \cdot - 6 + 10 {\sqrt[5]{x}}^{3} {(- 6)}^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.3.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.2.3.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 5 {\sqrt[5]{x}}^{4} \cdot - 6 + 10 {\sqrt[5]{x}}^{3} {(- 6)}^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.2.1.5

Vereinfache.

Schritt 5.2.3.2.2

Schreibe ${\sqrt[5]{x}}^{4}$ als $\sqrt[5]{x^{4}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 5 \sqrt[5]{x^{4}} \cdot - 6 + 10 {\sqrt[5]{x}}^{3} {(- 6)}^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.2.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{3} {(- 6)}^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.2.4

Schreibe ${\sqrt[5]{x}}^{3}$ als $\sqrt[5]{x^{3}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 10 \sqrt[5]{x^{3}} {(- 6)}^{2} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.2.5

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 10 \sqrt[5]{x^{3}} \cdot 36 + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.2.6

Mutltipliziere $36$ mit $10$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 10 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{3} + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.2.7

Schreibe ${\sqrt[5]{x}}^{2}$ als $\sqrt[5]{x^{2}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 10 \sqrt[5]{x^{2}} {(- 6)}^{3} + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.2.8

Potenziere $- 6$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 10 \sqrt[5]{x^{2}} \cdot - 216 + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.2.9

Mutltipliziere $- 216$ mit $10$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 5 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.2.10

Potenziere $- 6$ mit $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 5 \sqrt[5]{x} \cdot 1296 + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.2.11

Mutltipliziere $1296$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} + {(- 6)}^{5} + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.2.12

Potenziere $- 6$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{4} + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.3

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 ({\sqrt[5]{x}}^{4} + 4 {\sqrt[5]{x}}^{3} \cdot - 6 + 6 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{2} + 4 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}) + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.4.1

Schreibe ${\sqrt[5]{x}}^{4}$ als $\sqrt[5]{x^{4}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 (\sqrt[5]{x^{4}} + 4 {\sqrt[5]{x}}^{3} \cdot - 6 + 6 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{2} + 4 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}) + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.4.2

Schreibe ${\sqrt[5]{x}}^{3}$ als $\sqrt[5]{x^{3}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 (\sqrt[5]{x^{4}} + 4 \sqrt[5]{x^{3}} \cdot - 6 + 6 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{2} + 4 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}) + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.4.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 (\sqrt[5]{x^{4}} - 24 \sqrt[5]{x^{3}} + 6 {\sqrt[5]{x}}^{2} {(- 6)}^{2} + 4 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}) + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.4.4

Schreibe ${\sqrt[5]{x}}^{2}$ als $\sqrt[5]{x^{2}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 (\sqrt[5]{x^{4}} - 24 \sqrt[5]{x^{3}} + 6 \sqrt[5]{x^{2}} {(- 6)}^{2} + 4 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}) + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.4.5

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 (\sqrt[5]{x^{4}} - 24 \sqrt[5]{x^{3}} + 6 \sqrt[5]{x^{2}} \cdot 36 + 4 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}) + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.4.6

Mutltipliziere $36$ mit $6$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 (\sqrt[5]{x^{4}} - 24 \sqrt[5]{x^{3}} + 216 \sqrt[5]{x^{2}} + 4 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}) + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.4.7

Potenziere $- 6$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 (\sqrt[5]{x^{4}} - 24 \sqrt[5]{x^{3}} + 216 \sqrt[5]{x^{2}} + 4 \sqrt[5]{x} \cdot - 216 + {(- 6)}^{4}) + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.4.8

Mutltipliziere $- 216$ mit $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 (\sqrt[5]{x^{4}} - 24 \sqrt[5]{x^{3}} + 216 \sqrt[5]{x^{2}} - 864 \sqrt[5]{x} + {(- 6)}^{4}) + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.4.9

Potenziere $- 6$ mit $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 (\sqrt[5]{x^{4}} - 24 \sqrt[5]{x^{3}} + 216 \sqrt[5]{x^{2}} - 864 \sqrt[5]{x} + 1296) + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 30 (- 24 \sqrt[5]{x^{3}}) + 30 (216 \sqrt[5]{x^{2}}) + 30 (- 864 \sqrt[5]{x}) + 30 \cdot 1296 + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.6.1

Mutltipliziere $- 24$ mit $30$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 30 (216 \sqrt[5]{x^{2}}) + 30 (- 864 \sqrt[5]{x}) + 30 \cdot 1296 + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.6.2

Mutltipliziere $216$ mit $30$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 30 (- 864 \sqrt[5]{x}) + 30 \cdot 1296 + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.6.3

Mutltipliziere $- 864$ mit $30$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 30 \cdot 1296 + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.6.4

Mutltipliziere $30$ mit $1296$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{3} + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.7

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 ({\sqrt[5]{x}}^{3} + 3 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot - 6 + 3 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3}) + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.8

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.8.1

Schreibe ${\sqrt[5]{x}}^{3}$ als $\sqrt[5]{x^{3}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 (\sqrt[5]{x^{3}} + 3 {\sqrt[5]{x}}^{2} \cdot - 6 + 3 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3}) + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.8.2

Schreibe ${\sqrt[5]{x}}^{2}$ als $\sqrt[5]{x^{2}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 (\sqrt[5]{x^{3}} + 3 \sqrt[5]{x^{2}} \cdot - 6 + 3 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3}) + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.8.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 (\sqrt[5]{x^{3}} - 18 \sqrt[5]{x^{2}} + 3 \sqrt[5]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3}) + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.8.4

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 (\sqrt[5]{x^{3}} - 18 \sqrt[5]{x^{2}} + 3 \sqrt[5]{x} \cdot 36 + {(- 6)}^{3}) + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.8.5

Mutltipliziere $36$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 (\sqrt[5]{x^{3}} - 18 \sqrt[5]{x^{2}} + 108 \sqrt[5]{x} + {(- 6)}^{3}) + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.8.6

Potenziere $- 6$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 (\sqrt[5]{x^{3}} - 18 \sqrt[5]{x^{2}} + 108 \sqrt[5]{x} - 216) + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.9

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 360 (- 18 \sqrt[5]{x^{2}}) + 360 (108 \sqrt[5]{x}) + 360 \cdot - 216 + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.10

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.10.1

Mutltipliziere $- 18$ mit $360$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 360 (108 \sqrt[5]{x}) + 360 \cdot - 216 + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.10.2

Mutltipliziere $108$ mit $360$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} + 360 \cdot - 216 + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.10.3

Mutltipliziere $360$ mit $- 216$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 {(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2} + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.11

Schreibe ${(\sqrt[5]{x} - 6)}^{2}$ als $(\sqrt[5]{x} - 6) (\sqrt[5]{x} - 6)$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 ((\sqrt[5]{x} - 6) (\sqrt[5]{x} - 6)) + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.12

Multipliziere $(\sqrt[5]{x} - 6) (\sqrt[5]{x} - 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.3.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 (\sqrt[5]{x} (\sqrt[5]{x} - 6) - 6 (\sqrt[5]{x} - 6)) + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 (\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{x} + \sqrt[5]{x} \cdot - 6 - 6 (\sqrt[5]{x} - 6)) + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 (\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{x} + \sqrt[5]{x} \cdot - 6 - 6 \sqrt[5]{x} - 6 \cdot - 6) + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.13

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.3.13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.13.1.1

Multipliziere $\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{x}$ .

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Schritt 5.2.3.13.1.1.1

Potenziere $\sqrt[5]{x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 (\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{x} + \sqrt[5]{x} \cdot - 6 - 6 \sqrt[5]{x} - 6 \cdot - 6) + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.13.1.1.2

Potenziere $\sqrt[5]{x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 (\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{x} + \sqrt[5]{x} \cdot - 6 - 6 \sqrt[5]{x} - 6 \cdot - 6) + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.13.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 ({\sqrt[5]{x}}^{1 + 1} + \sqrt[5]{x} \cdot - 6 - 6 \sqrt[5]{x} - 6 \cdot - 6) + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.13.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 ({\sqrt[5]{x}}^{2} + \sqrt[5]{x} \cdot - 6 - 6 \sqrt[5]{x} - 6 \cdot - 6) + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.13.1.2

Schreibe ${\sqrt[5]{x}}^{2}$ als $\sqrt[5]{x^{2}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 (\sqrt[5]{x^{2}} + \sqrt[5]{x} \cdot - 6 - 6 \sqrt[5]{x} - 6 \cdot - 6) + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.13.1.3

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $\sqrt[5]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 (\sqrt[5]{x^{2}} - 6 \cdot \sqrt[5]{x} - 6 \sqrt[5]{x} - 6 \cdot - 6) + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.13.1.4

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 6$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 (\sqrt[5]{x^{2}} - 6 \sqrt[5]{x} - 6 \sqrt[5]{x} + 36) + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.13.2

Subtrahiere $6 \sqrt[5]{x}$ von $- 6 \sqrt[5]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 (\sqrt[5]{x^{2}} - 12 \sqrt[5]{x} + 36) + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.14

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 2160 (- 12 \sqrt[5]{x}) + 2160 \cdot 36 + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.15

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.15.1

Mutltipliziere $- 12$ mit $2160$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 2160 \cdot 36 + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.15.2

Mutltipliziere $2160$ mit $36$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 77760 + 6480 (\sqrt[5]{x} - 6) + 7776$

Schritt 5.2.3.16

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 77760 + 6480 \sqrt[5]{x} + 6480 \cdot - 6 + 7776$

Schritt 5.2.3.17

Mutltipliziere $6480$ mit $- 6$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 77760 + 6480 \sqrt[5]{x} - 38880 + 7776$

Schritt 5.2.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.2.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 30 \sqrt[5]{x^{4}} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 + 30 \sqrt[5]{x^{4}} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 77760 + 6480 \sqrt[5]{x} - 38880 + 7776$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Addiere $- 30 \sqrt[5]{x^{4}}$ und $30 \sqrt[5]{x^{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 0 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 77760 + 6480 \sqrt[5]{x} - 38880 + 7776$

Schritt 5.2.4.1.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 6480 \sqrt[5]{x^{2}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 77760 + 6480 \sqrt[5]{x} - 38880 + 7776$

Schritt 5.2.4.1.3

Subtrahiere $6480 \sqrt[5]{x^{2}}$ von $6480 \sqrt[5]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} + 0 - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 77760 + 6480 \sqrt[5]{x} - 38880 + 7776$

Schritt 5.2.4.1.4

Addiere $x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} - 2160 \sqrt[5]{x^{2}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 + 2160 \sqrt[5]{x^{2}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 77760 + 6480 \sqrt[5]{x} - 38880 + 7776$

Schritt 5.2.4.1.5

Addiere $- 2160 \sqrt[5]{x^{2}}$ und $2160 \sqrt[5]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 0 + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 - 25920 \sqrt[5]{x} + 77760 + 6480 \sqrt[5]{x} - 38880 + 7776$

Schritt 5.2.4.1.6

Addiere $x + 360 \sqrt[5]{x^{3}}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 77760 - 25920 \sqrt[5]{x} + 77760 + 6480 \sqrt[5]{x} - 38880 + 7776$

Schritt 5.2.4.1.7

Addiere $- 77760$ und $77760$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x} + 0 - 25920 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x} - 38880 + 7776$

Schritt 5.2.4.1.8

Addiere $x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x} - 38880 + 7776$

Schritt 5.2.4.1.9

Subtrahiere $38880$ von $38880$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 0 + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x} + 7776$

Schritt 5.2.4.1.10

Addiere $x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} - 25920 \sqrt[5]{x}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 7776 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x} + 7776$

Schritt 5.2.4.1.11

Addiere $- 7776$ und $7776$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x} + 0 - 720 \sqrt[5]{x^{3}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x}$

Schritt 5.2.4.1.12

Addiere $x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 720 \sqrt[5]{x^{3}} - 25920 \sqrt[5]{x} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x}$

Schritt 5.2.4.2

Subtrahiere $720 \sqrt[5]{x^{3}}$ von $360 \sqrt[5]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x}$

Schritt 5.2.4.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 6480 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 360 \sqrt[5]{x^{3}} + 38880 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x}$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Addiere $- 360 \sqrt[5]{x^{3}}$ und $360 \sqrt[5]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 0 + 6480 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x}$

Schritt 5.2.4.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 6480 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 38880 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x}$

Schritt 5.2.4.4

Subtrahiere $25920 \sqrt[5]{x}$ von $6480 \sqrt[5]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 19440 \sqrt[5]{x} + 38880 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x}$

Schritt 5.2.4.5

Addiere $- 19440 \sqrt[5]{x}$ und $38880 \sqrt[5]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 19440 \sqrt[5]{x} - 25920 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x}$

Schritt 5.2.4.6

Subtrahiere $25920 \sqrt[5]{x}$ von $19440 \sqrt[5]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x - 6480 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x}$

Schritt 5.2.4.7

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 6480 \sqrt[5]{x} + 6480 \sqrt[5]{x}$ .

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Schritt 5.2.4.7.1

Addiere $- 6480 \sqrt[5]{x}$ und $6480 \sqrt[5]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x + 0$

Schritt 5.2.4.7.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x} - 6) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776) = \sqrt[5]{x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776} - 6$

Schritt 5.3.3

Entferne die Klammern.

$f (x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776) = \sqrt[5]{x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776} - 6$

Schritt 5.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.4.1

Passe jeden Term so an, dass er den Termen des binomischen Lehrsatzes entspricht.

$f (x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776) = \sqrt[5]{x^{5} + 5 \cdot (6 x^{4}) + 10 \cdot (6^{2} x^{3}) + 10 \cdot (6^{3} x^{2}) + 5 \cdot (6^{4} x) + 6^{5}} - 6$

Schritt 5.3.4.2

Faktorisiere $x^{5} + 5 \cdot 6 x^{4} + 10 \cdot 6^{2} x^{3} + 10 \cdot 6^{3} x^{2} + 5 \cdot 6^{4} x + 6^{5}$ mithilfe des Binomischen Lehrsatzes.

$f (x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776) = \sqrt[5]{{(x + 6)}^{5}} - 6$

Schritt 5.3.4.3

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776) = x + 6 - 6$

Schritt 5.3.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 6 - 6$ .

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Schritt 5.3.5.1

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$f (x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776) = x + 0$

Schritt 5.3.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt[5]{x} - 6$ .

$f^{- 1} (x) = x^{5} + 30 x^{4} + 360 x^{3} + 2160 x^{2} + 6480 x + 7776$