Elementarmathematik Beispiele

$y = \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ nicht definiert ist.

$x = - \sqrt{3}, x = \sqrt{3}$

Schritt 2

Da $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $- \sqrt{3}$ von links und $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $- \sqrt{3}$ von rechts, dann ist $x = - \sqrt{3}$ eine vertikale Asymptote.

$x = - \sqrt{3}$

Schritt 3

Da $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $\sqrt{3}$ von links und $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $\sqrt{3}$ von rechts, dann ist $x = \sqrt{3}$ eine vertikale Asymptote.

$x = \sqrt{3}$

Schritt 4

Liste alle vertikalen Asymptoten auf:

$x = - \sqrt{3}, \sqrt{3}$

Schritt 5

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 6

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Schritt 7

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 8

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- (x^{2}) + 3}$

Schritt 8.1.2

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- (x^{2}) - 1 (- 3)}$

Schritt 8.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ heraus.

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- (x^{2} - 3)}$

Schritt 8.1.4

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 8.1.4.1

Schreibe $- (x^{2} - 3)$ als $- 1 (x^{2} - 3)$ um.

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- 1 (x^{2} - 3)}$

Schritt 8.1.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{x^{2} - 3}$

Schritt 8.2

Multipliziere $- (2 x^{3} + 4 x^{2} - 9)$ aus.

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Schritt 8.2.1

Kehre das Vorzeichen von $2 x^{3} + 4 x^{2} - 9$ um.

$\frac{- (2 x^{3} + 4 x^{2} - 9)}{x^{2} - 3}$

Schritt 8.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- (2 x^{3} + 4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

Schritt 8.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- (2 x^{3}) - (4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

Schritt 8.2.4

Entferne die Klammern.

$\frac{- 1 \cdot (2 x^{3}) - (4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

Schritt 8.2.5

Entferne die Klammern.

$\frac{- 1 \cdot (2 x^{3}) - 1 \cdot (4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

Schritt 8.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2 x^{3} - 1 \cdot (4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

Schritt 8.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{- 2 x^{3} - 4 x^{2} + 9}{x^{2} - 3}$

Schritt 8.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$\frac{- 2 x^{3} - 4 x^{2} + 9}{x^{2} - 3}$

Schritt 8.3

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$9$

Schritt 8.4

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

						-	$2 x$
	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$

Schritt 8.5

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$2 x$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$9$

$2 x^{3}$

$0$

$6 x$

Schritt 8.6

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x^{3} + 0 + 6 x$

					-	$2 x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$

Schritt 8.7

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

					-	$2 x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$

Schritt 8.8

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

					-	$2 x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$

Schritt 8.9

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 4 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

					-	$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$

Schritt 8.10

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

					-	$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
							-	$4 x^{2}$	+	$0$	+	$12$

Schritt 8.11

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 4 x^{2} + 0 + 12$

					-	$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
							+	$4 x^{2}$	-	$0$	-	$12$

Schritt 8.12

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

					-	$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
							+	$4 x^{2}$	-	$0$	-	$12$
									-	$6 x$	-	$3$

Schritt 8.13

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$- 2 x - 4 + \frac{- 6 x - 3}{x^{2} - 3}$

Schritt 8.14

Zerlege die Lösung in den Polynomteil und den Rest.

$- 2 x - 4 + \frac{6 x + 3}{- x^{2} + 3}$

Schritt 8.15

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = - 2 x - 4$

Schritt 9

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = - \sqrt{3}, \sqrt{3}$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = - 2 x - 4$

Schritt 10