Elementarmathematik Beispiele

$y = - 4 x (x + 7)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Vereinfache $- 4 x (x + 7)$ .

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Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 7$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.1

Bewege $x$ .

$y = - 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot 7$

Schritt 1.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = - 4 x^{2} - 4 x \cdot 7$

Schritt 1.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $- 4$ .

$y = - 4 x^{2} - 28 x$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 4 x^{2} - 28 x$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 4$

$b = - 28$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 28}{2 \cdot - 4}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 28$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 28$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 14}{2 \cdot - 4}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 14}{2 (- 4)}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 14}{2 \cdot - 4}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 14}{- 4}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 14$ und $- 4$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 14$ heraus.

$d = \frac{- 2 (7)}{- 4}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 4$ heraus.

$d = \frac{- 2 \cdot 7}{- 2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 2 \cdot 7}{- 2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{7}{2}$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 28)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $- 28$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{784}{4 \cdot - 4}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$e = 0 - \frac{784}{- 16}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $784$ durch $- 16$ .

$e = 0 - - 49$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 49$ .

$e = 0 + 49$

Schritt 1.2.4.2.2

Addiere $0$ und $49$ .

$e = 49$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 4 {(x + \frac{7}{2})}^{2} + 49$ ein.

$- 4 {(x + \frac{7}{2})}^{2} + 49$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - 4 {(x + \frac{7}{2})}^{2} + 49$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 4$

$h = - \frac{7}{2}$

$k = 49$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- \frac{7}{2}, 49)$

Schritt 4