ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$

خطوة 1

أوجِد الموضع الذي تكون فيه العبارة $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$ غير معرّفة.

$x = - 2, x = 0$

خطوة 2

بما أن $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$ $\to$ $- \infty$ عندما $x$ $\to$ $- 2$ من جهة اليسار و $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$ $\to$ $\infty$ عندما $x$ $\to$ $- 2$ من جهة اليمين، إذن $x = - 2$ خط تقارب رأسي.

$x = - 2$

خطوة 3

بما أن $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$ $\to$ $- \infty$ عندما $x$ $\to$ $0$ من جهة اليسار و $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$ $\to$ $\infty$ عندما $x$ $\to$ $0$ من جهة اليمين، إذن $x = 0$ خط تقارب رأسي.

$x = 0$

خطوة 4

اسرِد جميع خطوط التقارب الرأسية:

$x = - 2, 0$

خطوة 5

ضع في اعتبارك الدالة الكسرية $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ حيث $n$ هي درجة البسط و $m$ هي درجة القاسم.

1. إذا كانت $n < m$ ، فإن المحور السيني، $y = 0$ ، هو خط التقارب الأفقي.

2. في حالة $n = m$ ، فإن خط التقارب الأفقي هو الخط $y = \frac{a}{b}$ .

3. في حالة $n > m$ ، لا يوجد خط تقارب أفقي (يوجد خط تقارب مائل).

خطوة 6

أوجِد $n$ و $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

خطوة 7

بما أن $n > m$ ، إذن لا يوجد خط تقارب أفقي.

لا توجد خطوط تقارب أفقية

خطوة 8

أوجِد خط التقارب المائل باستخدام قسمة متعددات الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} + 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + 2 x}$

خطوة 8.1.2

أخرِج العامل $x$ من $2 x$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + x \cdot 2}$

خطوة 8.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x (x + 2)}$

خطوة 8.2

وسّع $x (x + 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + x \cdot 2}$

خطوة 8.2.2

أعِد ترتيب $x$ و $2$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + 2 x}$

خطوة 8.2.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + 2 x}$

خطوة 8.2.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x \cdot x + 2 x}$

خطوة 8.2.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{1 + 1} + 2 x}$

خطوة 8.2.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + 1}{x^{2} + 2 x}$

خطوة 8.3

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

خطوة 8.4

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $3 x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x^{2}$ .

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

خطوة 8.5

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

خطوة 8.6

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $3 x^{3} + 6 x^{2} + 0$

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

خطوة 8.7

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$0$

خطوة 8.8

أخرِج الحد التالي من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$0$

$1$

خطوة 8.9

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 5 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x^{2}$ .

						$3 x$	-	$5$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$0$
							-	$5 x^{2}$	+	$0$	+	$1$

خطوة 8.10

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

						$3 x$	-	$5$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$0$
							-	$5 x^{2}$	+	$0$	+	$1$
							-	$5 x^{2}$	-	$10 x$	+	$0$

خطوة 8.11

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 5 x^{2} - 10 x + 0$

$3 x$

$5$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$0$

$1$

$5 x^{2}$

$10 x$

$0$

خطوة 8.12

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$3 x$

$5$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$0$

$5 x^{2}$

$0$

$1$

$5 x^{2}$

$10 x$

$0$

$10 x$

$1$

خطوة 8.13

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$3 x - 5 + \frac{10 x + 1}{x^{2} + 2 x}$

خطوة 8.14

خط التقارب المائل هو جزء متعدد الحدود من ناتج القسمة المطولة.

$y = 3 x - 5$

خطوة 9

هذه هي مجموعة جميع خطوط التقارب.

خطوط التقارب الرأسية: $x = - 2, 0$

لا توجد خطوط تقارب أفقية

خطوط التقارب المائلة: $y = 3 x - 5$

خطوة 10