ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 10 - | x |$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $10 - | x |$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- | x |]$ .

$\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- | x |]$

خطوة 1.1.2

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $10$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- | x |]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- | x |]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- | x |$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [| x |]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [| x |]$

خطوة 1.2.2

مشتق $| x |$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{x}{| x |}$ .

$0 - \frac{x}{| x |}$

خطوة 1.3

اطرح $\frac{x}{| x |}$ من $0$ .

$- \frac{x}{| x |}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = - 1$ و $g (x) = \frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x}{| x |} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = | x |$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | \cdot 1 - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.3.2

اضرب $| x |$ في $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.4

مشتق $| x |$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - x \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.5

اجمع $\frac{x}{| x |}$ و $x$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{1 + 1}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.9

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot 0$

خطوة 2.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

اضرب $\frac{x}{| x |}$ في $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 0$

خطوة 2.11.2

أضف $- \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$ و $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

خطوة 2.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.1.1

لكتابة $| x |$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{| x |}{| x |}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x | | x |}{| x |} - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

خطوة 2.12.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x | | x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

خطوة 2.12.1.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.1.3.1

اضرب $| x | | x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.1.3.1.1

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

خطوة 2.12.1.3.1.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

خطوة 2.12.1.3.1.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

خطوة 2.12.1.3.1.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{1 + 1} | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

خطوة 2.12.1.3.1.5

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

خطوة 2.12.1.3.2

احذف الحدود غير السالبة من القيمة المطلقة.

$f'' (x) = - \frac{\frac{x^{2} - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

خطوة 2.12.1.3.3

اطرح $x^{2}$ من $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{0}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

خطوة 2.12.1.4

اقسِم $0$ على $| x |$ .

$f'' (x) = - \frac{0}{{| x |}^{2}}$

خطوة 2.12.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$f'' (x) = - \frac{0}{x^{2}}$

خطوة 2.12.3

اقسِم $0$ على $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 0$

خطوة 2.12.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f'' (x) = 0$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- \frac{x}{| x |} = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $10 - | x |$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- | x |]$ .

$\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- | x |]$

خطوة 4.1.1.2

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $10$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- | x |]$

خطوة 4.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- | x |]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- | x |$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [| x |]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [| x |]$

خطوة 4.1.2.2

مشتق $| x |$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{x}{| x |}$ .

$0 - \frac{x}{| x |}$

خطوة 4.1.3

اطرح $\frac{x}{| x |}$ من $0$ .

$f' (x) = - \frac{x}{| x |}$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{x}{| x |}$ .

$- \frac{x}{| x |}$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{x}{| x |} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{x}{| x |} = 0$

خطوة 5.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$x = 0$

خطوة 5.3

استبعِد الحلول التي لا تجعل $- \frac{x}{| x |} = 0$ صحيحة.

$لا يوجد حل$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{x}{| x |}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$| x | = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

خطوة 6.2.2

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 0$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$0$

خطوة 9

نظرًا إلى وجود نقطة واحدة على الأقل بها $0$ أو مشتق ثانٍ غير معرّف، طبّق اختبار المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 9.2

عوّض بأي عدد، مثل $- 2$ ، من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الأول $- \frac{x}{| x |}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f' (- 2) = - \frac{- 2}{| - 2 |}$

خطوة 9.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $- 2$ و $0$ تساوي $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 2}{2}$

خطوة 9.2.2.2

اقسِم $- 2$ على $2$ .

$f' (- 2) = 1$

خطوة 9.2.2.3

الإجابة النهائية هي $1$ .

$1$

خطوة 9.3

عوّض بأي عدد، مثل $2$ ، من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق الأول $- \frac{x}{| x |}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f' (2) = - \frac{2}{| 2 |}$

خطوة 9.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$f' (2) = - \frac{2}{2}$

خطوة 9.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (2) = - \frac{2}{2}$

خطوة 9.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (2) = - 1 \cdot 1$

خطوة 9.3.2.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (2) = - 1$

خطوة 9.3.2.4

الإجابة النهائية هي $- 1$ .

$- 1$

خطوة 9.4

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من موجب إلى سالب حول $x = 0$ ، إذن $x = 0$ تمثل حدًا أقصى محليًا.

$x = 0$ هي حد أقصى محلي

خطوة 10