ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

خطوة 1

اطرح $\frac{x^{2}}{16}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{y^{2}}{4} = 1 - \frac{x^{2}}{16}$

خطوة 2

اضرب كلا المتعادلين في $4$ .

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

خطوة 3

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

خطوة 3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط $4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 4 \cdot 1 + 4 (- \frac{x^{2}}{16})$

خطوة 3.2.1.2

اضرب $4$ في $1$ .

$y^{2} = 4 + 4 (- \frac{x^{2}}{16})$

خطوة 3.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{x^{2}}{16}$ إلى بسط الكسر.

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{16}$

خطوة 3.2.1.3.2

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{4 (4)}$

خطوة 3.2.1.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{4 \cdot 4}$

خطوة 3.2.1.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 4 + \frac{- x^{2}}{4}$

خطوة 3.2.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y^{2} = 4 - \frac{x^{2}}{4}$

خطوة 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$

خطوة 5

بسّط $\pm \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اكتب العبارة باستخدام الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2} - \frac{x^{2}}{4}}$

خطوة 5.1.2

أعِد كتابة $\frac{x^{2}}{4}$ بالصيغة ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

خطوة 5.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 2$ و $b = \frac{x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

خطوة 5.3

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

خطوة 5.4

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

خطوة 5.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 \cdot 2 + x}{2} (2 - \frac{x}{2})}$

خطوة 5.6

اضرب $2$ في $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (2 - \frac{x}{2})}$

خطوة 5.7

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2})}$

خطوة 5.8

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{x}{2})}$

خطوة 5.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2 - x}{2}}$

خطوة 5.10

اضرب $2$ في $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} \cdot \frac{4 - x}{2}}$

خطوة 5.11

اضرب $\frac{4 + x}{2}$ في $\frac{4 - x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{2 \cdot 2}}$

خطوة 5.12

اضرب $2$ في $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{4}}$

خطوة 5.13

أعِد كتابة $\frac{(4 + x) (4 - x)}{4}$ بالصيغة ${(\frac{1}{2})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.13.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $(4 + x) (4 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4}}$

خطوة 5.13.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $2^{2}$ من $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

خطوة 5.13.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((4 + x) (4 - x))}$

خطوة 5.14

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

خطوة 5.15

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

خطوة 6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

خطوة 6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

خطوة 6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

خطوة 7

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$(4 + x) (4 - x) \geq 0$

خطوة 8

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$4 + x = 0$

$4 - x = 0$

خطوة 8.2

عيّن قيمة العبارة $4 + x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

عيّن قيمة $4 + x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 + x = 0$

خطوة 8.2.2

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$x = - 4$

خطوة 8.3

عيّن قيمة العبارة $4 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

عيّن قيمة $4 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 - x = 0$

خطوة 8.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $4 - x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 4$

خطوة 8.3.2.2

اقسِم كل حد في $- x = - 4$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x = - 4$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 8.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 8.3.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 8.3.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.2.3.1

اقسِم $- 4$ على $- 1$ .

$x = 4$

خطوة 8.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(4 + x) (4 - x) \geq 0$ صحيحة.

$x = - 4, 4$

خطوة 8.5

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$x > 4$

خطوة 8.6

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 4$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 4$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 6$

خطوة 8.6.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 6$ في المتباينة الأصلية.

$(4 - 6) (4 - (- 6)) \geq 0$

خطوة 8.6.1.3

الطرف الأيسر $- 20$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 8.6.2

اختبر قيمة في الفترة $- 4 < x < 4$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 4 < x < 4$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 8.6.2.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$(4 + 0) (4 - (0)) \geq 0$

خطوة 8.6.2.3

الطرف الأيسر $16$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 8.6.3

اختبر قيمة في الفترة $x > 4$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.3.1

اختر قيمة من الفترة $x > 4$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 6$

خطوة 8.6.3.2

استبدِل $x$ بـ $6$ في المتباينة الأصلية.

$(4 + 6) (4 - (6)) \geq 0$

خطوة 8.6.3.3

الطرف الأيسر $- 20$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 8.6.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 4$ خطأ

$- 4 < x < 4$ صحيحة

$x > 4$ خطأ

$x < - 4$ خطأ

$- 4 < x < 4$ صحيحة

$x > 4$ خطأ

خطوة 8.7

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$- 4 \leq x \leq 4$

خطوة 9

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$[- 4, 4]$

ترميز بناء المجموعات:

${x | - 4 \leq x \leq 4}$

خطوة 10

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$[- 2, 2]$

ترميز بناء المجموعات:

${y | - 2 \leq y \leq 2}$

خطوة 11

حدد النطاق والمدى.

النطاق: $[- 4, 4], {x | - 4 \leq x \leq 4}$

المدى: $[- 2, 2], {y | - 2 \leq y \leq 2}$

خطوة 12