ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = 1$

خطوة 1

اطرح $\frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$ من كلا المتعادلين.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = 1 - \frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$

خطوة 2

بسّط $1 - \frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع في كسر واحد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{9}{9} - \frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$

خطوة 2.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{9 - {(x + 4)}^{2}}{9}$

خطوة 2.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{3^{2} - {(x + 4)}^{2}}{9}$

خطوة 2.2.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 3$ و $b = x + 4$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(3 + x + 4) (3 - (x + 4))}{9}$

خطوة 2.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أضف $3$ و $4$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (3 - (x + 4))}{9}$

خطوة 2.2.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (3 - x - 1 \cdot 4)}{9}$

خطوة 2.2.3.3

اضرب $- 1$ في $4$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (3 - x - 4)}{9}$

خطوة 2.2.3.4

اطرح $4$ من $3$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- x - 1)}{9}$

خطوة 2.3

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- (x) - 1)}{9}$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- (x) - 1 (1))}{9}$

خطوة 2.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (1)$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- (x + 1))}{9}$

خطوة 2.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

أعِد كتابة $- (x + 1)$ بالصيغة $- 1 (x + 1)$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- 1 (x + 1))}{9}$

خطوة 2.3.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = - \frac{(x + 7) (x + 1)}{9}$

خطوة 3

اضرب كلا المتعادلين في $- 16$ .

$- 16 (- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16}) = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

خطوة 4

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

بسّط $- 16 (- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16}$ إلى بسط الكسر.

$- 16 \frac{- {(y - 1)}^{2}}{16} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

خطوة 4.1.1.1.2

أخرِج العامل $16$ من $- 16$ .

$16 (- 1) \frac{- {(y - 1)}^{2}}{16} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

خطوة 4.1.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$16 \cdot - 1 \frac{- {(y - 1)}^{2}}{16} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

خطوة 4.1.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$- - {(y - 1)}^{2} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

خطوة 4.1.1.2

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 {(y - 1)}^{2} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

خطوة 4.1.1.2.2

اضرب ${(y - 1)}^{2}$ في $1$ .

${(y - 1)}^{2} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $- 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 16$ .

${(y - 1)}^{2} = 16 \frac{(x + 7) (x + 1)}{9}$

خطوة 4.2.1.2

اجمع $16$ و $\frac{(x + 7) (x + 1)}{9}$ .

${(y - 1)}^{2} = \frac{16 ((x + 7) (x + 1))}{9}$

${(y - 1)}^{2} = \frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}$

خطوة 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 1 = \pm \sqrt{\frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}}$

خطوة 6

بسّط $\pm \sqrt{\frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $\frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}$ بالصيغة ${(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((x + 7) (x + 1))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أخرِج عامل القوة الكاملة ${(2^{2})}^{2}$ من $16 (x + 7) (x + 1)$ .

$y - 1 = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}{9}}$

خطوة 6.1.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $3^{2}$ من $9$ .

$y - 1 = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}{3^{2} \cdot 1}}$

خطوة 6.1.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{{(2^{2})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y - 1 = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}$

خطوة 6.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y - 1 = \pm \frac{2^{2}}{3} \sqrt{(x + 7) (x + 1)}$

خطوة 6.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$y - 1 = \pm \frac{4}{3} \sqrt{(x + 7) (x + 1)}$

خطوة 6.4

اجمع $\frac{4}{3}$ و $\sqrt{(x + 7) (x + 1)}$ .

$y - 1 = \pm \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3}$

خطوة 7

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y - 1 = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3}$

خطوة 7.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

خطوة 7.3

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y - 1 = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3}$

خطوة 7.4

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

خطوة 7.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

$y = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

$y = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

$y = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

خطوة 8

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{(x + 7) (x + 1)}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$(x + 7) (x + 1) \geq 0$

خطوة 9

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x + 7 = 0$

$x + 1 = 0$

خطوة 9.2

عيّن قيمة العبارة $x + 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

عيّن قيمة $x + 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 7 = 0$

خطوة 9.2.2

اطرح $7$ من كلا المتعادلين.

$x = - 7$

خطوة 9.3

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 9.3.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 9.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x + 7) (x + 1) \geq 0$ صحيحة.

$x = - 7, - 1$

خطوة 9.5

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 7$

$- 7 < x < - 1$

$x > - 1$

خطوة 9.6

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.6.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 7$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.6.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 7$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 10$

خطوة 9.6.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 10$ في المتباينة الأصلية.

$((- 10) + 7) ((- 10) + 1) \geq 0$

خطوة 9.6.1.3

الطرف الأيسر $27$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 9.6.2

اختبر قيمة في الفترة $- 7 < x < - 1$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.6.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 7 < x < - 1$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 4$

خطوة 9.6.2.2

استبدِل $x$ بـ $- 4$ في المتباينة الأصلية.

$((- 4) + 7) ((- 4) + 1) \geq 0$

خطوة 9.6.2.3

الطرف الأيسر $- 9$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 9.6.3

اختبر قيمة في الفترة $x > - 1$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.6.3.1

اختر قيمة من الفترة $x > - 1$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 9.6.3.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$((0) + 7) ((0) + 1) \geq 0$

خطوة 9.6.3.3

الطرف الأيسر $7$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 9.6.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 7$ صحيحة

$- 7 < x < - 1$ خطأ

$x > - 1$ صحيحة

$x < - 7$ صحيحة

$- 7 < x < - 1$ خطأ

$x > - 1$ صحيحة

خطوة 9.7

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$x \leq - 7$ أو $x \geq - 1$

خطوة 10

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, - 7] \cup [- 1, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \leq - 7, x \geq - 1}$

خطوة 11

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${y | y \in ℝ}$

خطوة 12

حدد النطاق والمدى.

النطاق: $(- \infty, - 7] \cup [- 1, \infty), {x | x \leq - 7, x \geq - 1}$

المدى: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

خطوة 13