ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 9 x^{3} - 21 x^{2} + 4 x + 4$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{9}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{2}{9}, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm \frac{4}{9}$

خطوة 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

$9 {(2)}^{3} - 21 {(2)}^{2} + 4 (2) + 4$

خطوة 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $x = 2$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$9 \cdot 8 - 21 {(2)}^{2} + 4 (2) + 4$

خطوة 4.1.2

اضرب $9$ في $8$ .

$72 - 21 {(2)}^{2} + 4 (2) + 4$

خطوة 4.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$72 - 21 \cdot 4 + 4 (2) + 4$

خطوة 4.1.4

اضرب $- 21$ في $4$ .

$72 - 84 + 4 (2) + 4$

خطوة 4.1.5

اضرب $4$ في $2$ .

$72 - 84 + 8 + 4$

خطوة 4.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $84$ من $72$ .

$- 12 + 8 + 4$

خطوة 4.2.2

أضف $- 12$ و $8$ .

$- 4 + 4$

خطوة 4.2.3

أضف $- 4$ و $4$ .

$0$

خطوة 5

بما أن $2$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $x - 2$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{9 x^{3} - 21 x^{2} + 4 x + 4}{x - 2}$

خطوة 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$2$	$9$	$- 21$	$4$	$4$

خطوة 6.2

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(9)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$2$	$9$	$- 21$	$4$	$4$

	$9$

خطوة 6.3

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(9)$ في المقسوم عليه $(2)$ وضَع نتيجة $(18)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 21)$ .

$2$	$9$	$- 21$	$4$	$4$
		$18$
	$9$

خطوة 6.4

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$2$	$9$	$- 21$	$4$	$4$
		$18$
	$9$	$- 3$

خطوة 6.5

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 3)$ في المقسوم عليه $(2)$ وضَع نتيجة $(- 6)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(4)$ .

$2$	$9$	$- 21$	$4$	$4$
		$18$	$- 6$
	$9$	$- 3$

خطوة 6.6

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$2$	$9$	$- 21$	$4$	$4$
		$18$	$- 6$
	$9$	$- 3$	$- 2$

خطوة 6.7

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 2)$ في المقسوم عليه $(2)$ وضَع نتيجة $(- 4)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(4)$ .

$2$	$9$	$- 21$	$4$	$4$
		$18$	$- 6$	$- 4$
	$9$	$- 3$	$- 2$

خطوة 6.8

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$2$	$9$	$- 21$	$4$	$4$
		$18$	$- 6$	$- 4$
	$9$	$- 3$	$- 2$	$0$

خطوة 6.9

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$9 x^{2} + - 3 x - 2$

خطوة 6.10

بسّط ناتج قسمة متعدد الحدود.

$9 x^{2} - 3 x - 2$

خطوة 7

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 9 \cdot - 2 = - 18$ ومجموعهما $b = - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أخرِج العامل $- 3$ من $- 3 x$ .

$(x - 2) + 9 x^{2} - 3 x - 2$

خطوة 7.1.2

أعِد كتابة $- 3$ في صورة $3$ زائد $- 6$

$(x - 2) + 9 x^{2} + (3 - 6) x - 2$

خطوة 7.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(x - 2) + 9 x^{2} + 3 x - 6 x - 2$

خطوة 7.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(x - 2) (9 x^{2} + 3 x) - 6 x - 2$

خطوة 7.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$(x - 2) + 3 x (3 x + 1) - 2 (3 x + 1)$

خطوة 7.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $3 x + 1$ .

$(x - 2) + (3 x + 1) (3 x - 2)$

$(x - 2) (3 x + 1) (3 x - 2)$

خطوة 8

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

حلّل $9 x^{3} - 21 x^{2} + 4 x + 4$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

خطوة 8.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 0.\overline{1}, \pm 0.\overline{3}, \pm 4, \pm 0.\overline{4}, \pm 1.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{2}, \pm 0.\overline{6}$

خطوة 8.1.3

عوّض بـ $- 0.\overline{3}$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $- 0.\overline{3}$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.3.1

عوّض بـ $- 0.\overline{3}$ في متعدد الحدود.

$9 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 21 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 4 \cdot - 0.\overline{3} + 4$

خطوة 8.1.3.2

ارفع $- 0.\overline{3}$ إلى القوة $3$ .

$9 \cdot - 0.\overline{037} - 21 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 4 \cdot - 0.\overline{3} + 4$

خطوة 8.1.3.3

اضرب $9$ في $- 0.\overline{037}$ .

$- 0.\overline{3} - 21 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 4 \cdot - 0.\overline{3} + 4$

خطوة 8.1.3.4

ارفع $- 0.\overline{3}$ إلى القوة $2$ .

$- 0.\overline{3} - 21 \cdot 0.\overline{1} + 4 \cdot - 0.\overline{3} + 4$

خطوة 8.1.3.5

اضرب $- 21$ في $0.\overline{1}$ .

$- 0.\overline{3} - 2.\overline{3} + 4 \cdot - 0.\overline{3} + 4$

خطوة 8.1.3.6

اطرح $2.\overline{3}$ من $- 0.\overline{3}$ .

$- 2.\overline{6} + 4 \cdot - 0.\overline{3} + 4$

خطوة 8.1.3.7

اضرب $4$ في $- 0.\overline{3}$ .

$- 2.\overline{6} - 1.\overline{3} + 4$

خطوة 8.1.3.8

اطرح $1.\overline{3}$ من $- 2.\overline{6}$ .

$- 4 + 4$

خطوة 8.1.3.9

أضف $- 4$ و $4$ .

$0$

خطوة 8.1.4

بما أن $- 0.\overline{3}$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $3 x + 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{9 x^{3} - 21 x^{2} + 4 x + 4}{3 x + 1}$

خطوة 8.1.5

اقسِم $9 x^{3} - 21 x^{2} + 4 x + 4$ على $3 x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$3 x$

$1$

$9 x^{3}$

$21 x^{2}$

$4 x$

$4$

خطوة 8.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $9 x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $3 x$ .

					$3 x^{2}$
	$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$

خطوة 8.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
			+	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

خطوة 8.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $9 x^{3} + 3 x^{2}$

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

خطوة 8.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$

خطوة 8.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$4 x$

خطوة 8.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 24 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $3 x$ .

				$3 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$4 x$

خطوة 8.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$24 x^{2}$	-	$8 x$

خطوة 8.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 24 x^{2} - 8 x$

				$3 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$

خطوة 8.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$12 x$

خطوة 8.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$12 x$	+	$4$

خطوة 8.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $12 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $3 x$ .

				$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$12 x$	+	$4$

خطوة 8.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$12 x$	+	$4$
							+	$12 x$	+	$4$

خطوة 8.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $12 x + 4$

				$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$12 x$	+	$4$
							-	$12 x$	-	$4$

خطوة 8.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$12 x$	+	$4$
							-	$12 x$	-	$4$
										$0$

خطوة 8.1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$3 x^{2} - 8 x + 4$

خطوة 8.1.6

اكتب $9 x^{3} - 21 x^{2} + 4 x + 4$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(3 x + 1) (3 x^{2} - 8 x + 4) = 0$

خطوة 8.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12$ ومجموعهما $b = - 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1.1

أخرِج العامل $- 8$ من $- 8 x$ .

$(3 x + 1) (3 x^{2} - 8 x + 4) = 0$

خطوة 8.2.1.1.2

أعِد كتابة $- 8$ في صورة $- 2$ زائد $- 6$

$(3 x + 1) (3 x^{2} + (- 2 - 6) x + 4) = 0$

خطوة 8.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(3 x + 1) (3 x^{2} - 2 x - 6 x + 4) = 0$

خطوة 8.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(3 x + 1) ((3 x^{2} - 2 x) - 6 x + 4) = 0$

خطوة 8.2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$(3 x + 1) (x (3 x - 2) - 2 (3 x - 2)) = 0$

خطوة 8.2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $3 x - 2$ .

$(3 x + 1) ((3 x - 2) (x - 2)) = 0$

خطوة 8.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(3 x + 1) (3 x - 2) (x - 2) = 0$

خطوة 9

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$3 x - 2 = 0$

$x - 2 = 0$

خطوة 10

عيّن قيمة العبارة $3 x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

عيّن قيمة $3 x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 x + 1 = 0$

خطوة 10.2

أوجِد قيمة $x$ في $3 x + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$3 x = - 1$

خطوة 10.2.2

اقسِم كل حد في $3 x = - 1$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

اقسِم كل حد في $3 x = - 1$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

خطوة 10.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

خطوة 10.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

خطوة 10.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{1}{3}$

خطوة 11

عيّن قيمة العبارة $3 x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عيّن قيمة $3 x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 x - 2 = 0$

خطوة 11.2

أوجِد قيمة $x$ في $3 x - 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$3 x = 2$

خطوة 11.2.2

اقسِم كل حد في $3 x = 2$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1

اقسِم كل حد في $3 x = 2$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

خطوة 11.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

خطوة 11.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

خطوة 12

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 12.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 13

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(3 x + 1) (3 x - 2) (x - 2) = 0$ صحيحة.

$x = - \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 2$

خطوة 14