ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} - 14 x + 28$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \pm 14, \pm 28$

$q = \pm 1, \pm 2$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm 14, \pm 28$

خطوة 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

$2 {(2)}^{3} - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

خطوة 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $x = 2$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اضرب $2$ في ${(2)}^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

اضرب $2$ في ${(2)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$2^{1} {(2)}^{3} - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

خطوة 4.1.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2^{1 + 3} - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

خطوة 4.1.1.2

أضف $1$ و $3$ .

$2^{4} - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

خطوة 4.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$16 - 4 {(2)}^{2} - 14 \cdot 2 + 28$

خطوة 4.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$16 - 4 \cdot 4 - 14 \cdot 2 + 28$

خطوة 4.1.4

اضرب $- 4$ في $4$ .

$16 - 16 - 14 \cdot 2 + 28$

خطوة 4.1.5

اضرب $- 14$ في $2$ .

$16 - 16 - 28 + 28$

خطوة 4.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $16$ من $16$ .

$0 - 28 + 28$

خطوة 4.2.2

اطرح $28$ من $0$ .

$- 28 + 28$

خطوة 4.2.3

أضف $- 28$ و $28$ .

$0$

خطوة 5

بما أن $2$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $x - 2$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 14 x + 28}{x - 2}$

خطوة 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$

خطوة 6.2

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(2)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$

	$2$

خطوة 6.3

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(2)$ في المقسوم عليه $(2)$ وضَع نتيجة $(4)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 4)$ .

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$
	$2$

خطوة 6.4

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$
	$2$	$0$

خطوة 6.5

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(0)$ في المقسوم عليه $(2)$ وضَع نتيجة $(0)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 14)$ .

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$	$0$
	$2$	$0$

خطوة 6.6

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$	$0$
	$2$	$0$	$- 14$

خطوة 6.7

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 14)$ في المقسوم عليه $(2)$ وضَع نتيجة $(- 28)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(28)$ .

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$	$0$	$- 28$
	$2$	$0$	$- 14$

خطوة 6.8

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$2$	$2$	$- 4$	$- 14$	$28$
		$4$	$0$	$- 28$
	$2$	$0$	$- 14$	$0$

خطوة 6.9

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$2 x^{2} + 0 x - 14$

خطوة 6.10

بسّط ناتج قسمة متعدد الحدود.

$2 x^{2} - 14$

خطوة 7

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2} - 14$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2}$ .

$(x - 2) (2 (x^{2}) - 14)$

خطوة 7.2

أخرِج العامل $2$ من $- 14$ .

$(x - 2) (2 x^{2} + 2 \cdot - 7)$

خطوة 7.3

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2} + 2 \cdot - 7$ .

$(x - 2) (2 (x^{2} - 7))$

خطوة 8

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{3} - 4 x^{2} - 14 x + 28$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) - 4 x^{2} - 14 x + 28 = 0$

خطوة 8.1.2

أخرِج العامل $2$ من $- 4 x^{2}$ .

$2 (x^{3}) + 2 (- 2 x^{2}) - 14 x + 28 = 0$

خطوة 8.1.3

أخرِج العامل $2$ من $- 14 x$ .

$2 (x^{3}) + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 28 = 0$

خطوة 8.1.4

أخرِج العامل $2$ من $28$ .

$2 x^{3} + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot 14 = 0$

خطوة 8.1.5

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{3} + 2 (- 2 x^{2})$ .

$2 (x^{3} - 2 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot 14 = 0$

خطوة 8.1.6

أخرِج العامل $2$ من $2 (x^{3} - 2 x^{2}) + 2 (- 7 x)$ .

$2 (x^{3} - 2 x^{2} - 7 x) + 2 \cdot 14 = 0$

خطوة 8.1.7

أخرِج العامل $2$ من $2 (x^{3} - 2 x^{2} - 7 x) + 2 \cdot 14$ .

$2 (x^{3} - 2 x^{2} - 7 x + 14) = 0$

خطوة 8.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$2 ((x^{3} - 2 x^{2}) - 7 x + 14) = 0$

خطوة 8.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$2 (x^{2} (x - 2) - 7 (x - 2)) = 0$

خطوة 8.3

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $x - 2$ .

$2 ((x - 2) (x^{2} - 7)) = 0$

خطوة 8.3.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$2 (x - 2) (x^{2} - 7) = 0$

خطوة 9

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} - 7 = 0$

خطوة 10

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 10.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 11

عيّن قيمة العبارة $x^{2} - 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عيّن قيمة $x^{2} - 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} - 7 = 0$

خطوة 11.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 7 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

أضف $7$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} = 7$

خطوة 11.2.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{7}$

خطوة 11.2.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{7}$

خطوة 11.2.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{7}$

خطوة 11.2.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

خطوة 12

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 (x - 2) (x^{2} - 7) = 0$ صحيحة.

$x = 2, \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

خطوة 13

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$x = 2, \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

الصيغة العشرية:

$x = 2, 2.64575131 \dots, - 2.64575131 \dots$

خطوة 14