ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x (x^{2} + 1)}$

خطوة 1

اقسِم باستخدام قسمة متعددات الحدود المطولة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وسّع $x (x^{2} + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

خطوة 1.1.2

أعِد ترتيب $x$ و $1$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + 1 x}$

خطوة 1.1.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + 1 x}$

خطوة 1.1.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{1 + 2} + 1 x}$

خطوة 1.1.5

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{3} + 1 x}$

خطوة 1.1.6

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{3} + x}$

خطوة 1.2

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

خطوة 1.3

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{4}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x^{3}$ .

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

خطوة 1.4

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

خطوة 1.5

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{4} + 0 + x^{2} + 0$

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

خطوة 1.6

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

$2 x^{2}$

$0$

خطوة 1.7

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

$2 x^{2}$

$0$

$1$

خطوة 1.8

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$x + \frac{2 x^{2} + 1}{x^{3} + x}$

خطوة 2

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3} + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x}$

خطوة 2.1.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x^{1}}$

خطوة 2.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

خطوة 2.1.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 1}{x (x^{2} + 1)}$

خطوة 2.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل من الرتبة الثانية، يلزم وجود $2$ من الحدود في بسط الكسر. ودائمًا ما يكون عدد الحدود اللازم في بسط الكسر مساويًا لرتبة العامل في القاسم.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

خطوة 2.3

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

خطوة 2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

خطوة 2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

خطوة 2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

خطوة 2.5.2

اقسِم $2 x^{2} + 1$ على $1$ .

$2 x^{2} + 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

خطوة 2.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 x^{2} + 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

خطوة 2.6.1.2

اقسِم $A (x^{2} + 1)$ على $1$ .

$2 x^{2} + 1 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

خطوة 2.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

خطوة 2.6.3

اضرب $A$ في $1$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

خطوة 2.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

خطوة 2.6.4.2

اقسِم $(B x + C) (x)$ على $1$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

خطوة 2.6.5

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

خطوة 2.6.6

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.6.1

انقُل $x$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

خطوة 2.6.6.2

اضرب $x$ في $x$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

خطوة 2.7

انقُل $A$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

خطوة 3

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x^{2}$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$2 = A + B$

خطوة 3.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = C$

خطوة 3.3

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = A$

خطوة 3.4

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$2 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$2 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

خطوة 4

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $C = 0$ .

$C = 0$

$2 = A + B$

$1 = A$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A = 1$ .

$A = 1$

$C = 0$

$2 = A + B$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $1$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $2 = A + B$ بـ $1$ .

$2 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

خطوة 4.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

احذِف الأقواس.

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

خطوة 4.4

أوجِد قيمة $B$ في $2 = 1 + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $1 + B = 2$ .

$1 + B = 2$

$A = 1$

$C = 0$

خطوة 4.4.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $B$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$B = 2 - 1$

$A = 1$

$C = 0$

خطوة 4.4.2.2

اطرح $1$ من $2$ .

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

خطوة 4.5

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

$B = 1 A = 1 C = 0$

خطوة 4.6

اسرِد جميع الحلول.

$B = 1, A = 1, C = 0$

خطوة 5

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $x + \frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ و $C$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{1 x + 0}{x^{2} + 1}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احذِف الأقواس.

$x + \frac{1}{x} + \frac{(1) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

خطوة 6.2

أضف $(1) \cdot x$ و $0$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{(1) \cdot x}{x^{2} + 1}$

خطوة 6.3

اضرب $x$ في $1$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{x}{x^{2} + 1}$