ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{2} + 6 x + 1}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل من الرتبة الثانية، يلزم وجود $2$ من الحدود في بسط الكسر. ودائمًا ما يكون عدد الحدود اللازم في بسط الكسر مساويًا لرتبة العامل في القاسم.

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 1.2

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 4}$

خطوة 1.3

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي ${(x^{2} + 4)}^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 6 x + 1) {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 4)}^{2}}{x^{2} + 4}$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x^{2} + 4)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x^{2} + 6 x + 1) {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 4)}^{2}}{x^{2} + 4}$

خطوة 1.4.2

اقسِم $x^{2} + 6 x + 1$ على $1$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 4)}^{2}}{x^{2} + 4}$

خطوة 1.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x^{2} + 4)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} + 6 x + 1 = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 4)}^{2}}{x^{2} + 4}$

خطوة 1.5.1.2

اقسِم $A x + B$ على $1$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 4)}^{2}}{x^{2} + 4}$

خطوة 1.5.2

احذِف العامل المشترك لـ ${(x^{2} + 4)}^{2}$ و $x^{2} + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

أخرِج العامل $x^{2} + 4$ من $(C x + D) {(x^{2} + 4)}^{2}$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + \frac{(x^{2} + 4) ((C x + D) (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

خطوة 1.5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1

اضرب في $1$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + \frac{(x^{2} + 4) ((C x + D) (x^{2} + 4))}{(x^{2} + 4) \cdot 1}$

خطوة 1.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + \frac{(x^{2} + 4) ((C x + D) (x^{2} + 4))}{(x^{2} + 4) \cdot 1}$

خطوة 1.5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + \frac{(C x + D) (x^{2} + 4)}{1}$

خطوة 1.5.2.2.4

اقسِم $(C x + D) (x^{2} + 4)$ على $1$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + (C x + D) (x^{2} + 4)$

خطوة 1.5.3

وسّع $(C x + D) (x^{2} + 4)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C x (x^{2} + 4) + D (x^{2} + 4)$

خطوة 1.5.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 4 + D (x^{2} + 4)$

خطوة 1.5.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 4 + D x^{2} + D \cdot 4$

خطوة 1.5.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1.1

انقُل $x^{2}$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 4 + D x^{2} + D \cdot 4$

خطوة 1.5.4.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 4 + D x^{2} + D \cdot 4$

خطوة 1.5.4.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C x^{2 + 1} + C x \cdot 4 + D x^{2} + D \cdot 4$

خطوة 1.5.4.1.3

أضف $2$ و $1$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C x^{3} + C x \cdot 4 + D x^{2} + D \cdot 4$

خطوة 1.5.4.2

انقُل $4$ إلى يسار $C x$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C x^{3} + 4 \cdot (C x) + D x^{2} + D \cdot 4$

خطوة 1.5.4.3

انقُل $4$ إلى يسار $D$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C x^{3} + 4 C x + D x^{2} + 4 D$

خطوة 1.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

انقُل $B$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + C x^{3} + 4 C x + D x^{2} + B + 4 D$

خطوة 1.6.2

انقُل $4 C x$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + C x^{3} + D x^{2} + 4 C x + B + 4 D$

خطوة 1.6.3

انقُل $A x$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = C x^{3} + D x^{2} + A x + 4 C x + B + 4 D$

خطوة 2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x^{3}$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = C$

خطوة 2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x^{2}$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = D$

خطوة 2.3

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$6 = A + 4 C$

خطوة 2.4

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = B + 4 D$

خطوة 2.5

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$0 = C$

$1 = D$

$6 = A + 4 C$

$1 = B + 4 D$

$0 = C$

$1 = D$

$6 = A + 4 C$

$1 = B + 4 D$

خطوة 3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $C = 0$ .

$C = 0$

$1 = D$

$6 = A + 4 C$

$1 = B + 4 D$

خطوة 3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $C$ بـ $0$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $D = 1$ .

$D = 1$

$C = 0$

$6 = A + 4 C$

$1 = B + 4 D$

خطوة 3.2.2

استبدِل كافة حالات حدوث $C$ في $6 = A + 4 C$ بـ $0$ .

$6 = A + 4 (0)$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4 D$

خطوة 3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

بسّط $A + 4 (0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1.1

اضرب $4$ في $0$ .

$6 = A + 0$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4 D$

خطوة 3.2.3.1.2

أضف $A$ و $0$ .

$6 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4 D$

$6 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4 D$

$6 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4 D$

$6 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4 D$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $D$ بـ $1$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A = 6$ .

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4 D$

خطوة 3.3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $D$ في $1 = B + 4 D$ بـ $1$ .

$1 = B + 4 (1)$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

خطوة 3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اضرب $4$ في $1$ .

$1 = B + 4$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

خطوة 3.4

أوجِد قيمة $B$ في $1 = B + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $B + 4 = 1$ .

$B + 4 = 1$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

خطوة 3.4.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $B$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$B = 1 - 4$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

خطوة 3.4.2.2

اطرح $4$ من $1$ .

$B = - 3$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$B = - 3$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$B = - 3$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

خطوة 3.5

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

$B = - 3 A = 6 D = 1 C = 0$

خطوة 3.6

اسرِد جميع الحلول.

$B = - 3, A = 6, D = 1, C = 0$

خطوة 4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A x + B}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 4}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ و $C$ و $D$ .

$\frac{6 x - 3}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{0 x + 1}{x^{2} + 4}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $6$ في $x$ .

$\frac{6 x - 3}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 1}{x^{2} + 4}$

خطوة 5.2

اضرب $0$ في $x$ .

$\frac{6 x - 3}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{0 + 1}{x^{2} + 4}$

خطوة 5.3

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{6 x - 3}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 4}$