ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{2 x + 1}{x^{2} - 4}$

خطوة 1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

حلّل الكسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{2 x + 1}{x^{2} - 2^{2}}$

خطوة 1.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 2$ .

$\frac{2 x + 1}{(x + 2) (x - 2)}$

خطوة 1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $A$ .

$\frac{A}{x + 2}$

خطوة 1.3

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$

خطوة 1.4

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{(2 x + 1) (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

خطوة 1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(2 x + 1) (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

خطوة 1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

خطوة 1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

خطوة 1.6.2

اقسِم $2 x + 1$ على $1$ .

$2 x + 1 = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

خطوة 1.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 x + 1 = \frac{A (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

خطوة 1.7.1.2

اقسِم $(A) (x - 2)$ على $1$ .

$2 x + 1 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

خطوة 1.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x + 1 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

خطوة 1.7.3

انقُل $- 2$ إلى يسار $A$ .

$2 x + 1 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

خطوة 1.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 x + 1 = A x - 2 A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

خطوة 1.7.4.2

اقسِم $(B) (x + 2)$ على $1$ .

$2 x + 1 = A x - 2 A + (B) (x + 2)$

خطوة 1.7.5

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x + 1 = A x - 2 A + B x + B \cdot 2$

خطوة 1.7.6

انقُل $2$ إلى يسار $B$ .

$2 x + 1 = A x - 2 A + B x + 2 B$

خطوة 1.8

انقُل $- 2 A$ .

$2 x + 1 = A x + B x - 2 A + 2 B$

خطوة 2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$2 = A + B$

خطوة 2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = - 2 A + 2 B$

خطوة 2.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$2 = A + B$

$1 = - 2 A + 2 B$

$2 = A + B$

$1 = - 2 A + 2 B$

خطوة 3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد قيمة $A$ في $2 = A + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A + B = 2$ .

$A + B = 2$

$1 = - 2 A + 2 B$

خطوة 3.1.2

اطرح $B$ من كلا المتعادلين.

$A = 2 - B$

$1 = - 2 A + 2 B$

$A = 2 - B$

$1 = - 2 A + 2 B$

خطوة 3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $2 - B$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $1 = - 2 A + 2 B$ بـ $2 - B$ .

$1 = - 2 (2 - B) + 2 B$

$A = 2 - B$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $- 2 (2 - B) + 2 B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = - 2 \cdot 2 - 2 (- B) + 2 B$

$A = 2 - B$

خطوة 3.2.2.1.1.2

اضرب $- 2$ في $2$ .

$1 = - 4 - 2 (- B) + 2 B$

$A = 2 - B$

خطوة 3.2.2.1.1.3

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$1 = - 4 + 2 B + 2 B$

$A = 2 - B$

$1 = - 4 + 2 B + 2 B$

$A = 2 - B$

خطوة 3.2.2.1.2

أضف $2 B$ و $2 B$ .

$1 = - 4 + 4 B$

$A = 2 - B$

$1 = - 4 + 4 B$

$A = 2 - B$

$1 = - 4 + 4 B$

$A = 2 - B$

$1 = - 4 + 4 B$

$A = 2 - B$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $B$ في $1 = - 4 + 4 B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 4 + 4 B = 1$ .

$- 4 + 4 B = 1$

$A = 2 - B$

خطوة 3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $B$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$4 B = 1 + 4$

$A = 2 - B$

خطوة 3.3.2.2

أضف $1$ و $4$ .

$4 B = 5$

$A = 2 - B$

$4 B = 5$

$A = 2 - B$

خطوة 3.3.3

اقسِم كل حد في $4 B = 5$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اقسِم كل حد في $4 B = 5$ على $4$ .

$\frac{4 B}{4} = \frac{5}{4}$

$A = 2 - B$

خطوة 3.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 B}{4} = \frac{5}{4}$

$A = 2 - B$

خطوة 3.3.3.2.1.2

اقسِم $B$ على $1$ .

$B = \frac{5}{4}$

$A = 2 - B$

$B = \frac{5}{4}$

$A = 2 - B$

$B = \frac{5}{4}$

$A = 2 - B$

$B = \frac{5}{4}$

$A = 2 - B$

$B = \frac{5}{4}$

$A = 2 - B$

خطوة 3.4

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ بـ $\frac{5}{4}$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ في $A = 2 - B$ بـ $\frac{5}{4}$ .

$A = 2 - (\frac{5}{4})$

$B = \frac{5}{4}$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

بسّط $2 - (\frac{5}{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$A = 2 \cdot \frac{4}{4} - \frac{5}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

خطوة 3.4.2.1.2

اجمع $2$ و $\frac{4}{4}$ .

$A = \frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{5}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

خطوة 3.4.2.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A = \frac{2 \cdot 4 - 5}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

خطوة 3.4.2.1.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.4.1

اضرب $2$ في $4$ .

$A = \frac{8 - 5}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

خطوة 3.4.2.1.4.2

اطرح $5$ من $8$ .

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

خطوة 3.5

اسرِد جميع الحلول.

$A = \frac{3}{4}, B = \frac{5}{4}$

خطوة 4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$\frac{\frac{3}{4}}{x + 2} + \frac{\frac{5}{4}}{x - 2}$