ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{4 x}{x^{2} - 1}$

خطوة 1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

حلّل الكسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{4 x}{x^{2} - 1^{2}}$

خطوة 1.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$\frac{4 x}{(x + 1) (x - 1)}$

خطوة 1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

خطوة 1.3

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

خطوة 1.4

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{4 x (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 x (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.6.2

اقسِم $4 x$ على $1$ .

$4 x = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 x = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.7.1.2

اقسِم $(A) (x - 1)$ على $1$ .

$4 x = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$4 x = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.7.3

انقُل $- 1$ إلى يسار $A$ .

$4 x = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.7.4

أعِد كتابة $- 1 A$ بالصيغة $- A$ .

$4 x = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.7.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 x = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

خطوة 1.7.5.2

اقسِم $(B) (x + 1)$ على $1$ .

$4 x = A x - A + (B) (x + 1)$

خطوة 1.7.6

طبّق خاصية التوزيع.

$4 x = A x - A + B x + B \cdot 1$

خطوة 1.7.7

اضرب $B$ في $1$ .

$4 x = A x - A + B x + B$

خطوة 1.8

انقُل $- A$ .

$4 x = A x + B x - A + B$

خطوة 2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$4 = A + B$

خطوة 2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = - 1 A + B$

خطوة 2.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$4 = A + B$

$0 = - 1 A + B$

$4 = A + B$

$0 = - 1 A + B$

خطوة 3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد قيمة $A$ في $4 = A + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A + B = 4$ .

$A + B = 4$

$0 = - 1 A + B$

خطوة 3.1.2

اطرح $B$ من كلا المتعادلين.

$A = 4 - B$

$0 = - 1 A + B$

$A = 4 - B$

$0 = - 1 A + B$

خطوة 3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $4 - B$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $0 = - 1 A + B$ بـ $4 - B$ .

$0 = - 1 (4 - B) + B$

$A = 4 - B$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $- 1 (4 - B) + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$0 = - 1 \cdot 4 - 1 (- B) + B$

$A = 4 - B$

خطوة 3.2.2.1.1.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$0 = - 4 - 1 (- B) + B$

$A = 4 - B$

خطوة 3.2.2.1.1.3

اضرب $- 1 (- B)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$0 = - 4 + 1 B + B$

$A = 4 - B$

خطوة 3.2.2.1.1.3.2

اضرب $B$ في $1$ .

$0 = - 4 + B + B$

$A = 4 - B$

$0 = - 4 + B + B$

$A = 4 - B$

$0 = - 4 + B + B$

$A = 4 - B$

خطوة 3.2.2.1.2

أضف $B$ و $B$ .

$0 = - 4 + 2 B$

$A = 4 - B$

$0 = - 4 + 2 B$

$A = 4 - B$

$0 = - 4 + 2 B$

$A = 4 - B$

$0 = - 4 + 2 B$

$A = 4 - B$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $B$ في $0 = - 4 + 2 B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 4 + 2 B = 0$ .

$- 4 + 2 B = 0$

$A = 4 - B$

خطوة 3.3.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$2 B = 4$

$A = 4 - B$

خطوة 3.3.3

اقسِم كل حد في $2 B = 4$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اقسِم كل حد في $2 B = 4$ على $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{4}{2}$

$A = 4 - B$

خطوة 3.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 B}{2} = \frac{4}{2}$

$A = 4 - B$

خطوة 3.3.3.2.1.2

اقسِم $B$ على $1$ .

$B = \frac{4}{2}$

$A = 4 - B$

$B = \frac{4}{2}$

$A = 4 - B$

$B = \frac{4}{2}$

$A = 4 - B$

خطوة 3.3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.3.1

اقسِم $4$ على $2$ .

$B = 2$

$A = 4 - B$

$B = 2$

$A = 4 - B$

$B = 2$

$A = 4 - B$

$B = 2$

$A = 4 - B$

خطوة 3.4

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ بـ $2$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ في $A = 4 - B$ بـ $2$ .

$A = 4 - (2)$

$B = 2$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

بسّط $4 - (2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$A = 4 - 2$

$B = 2$

خطوة 3.4.2.1.2

اطرح $2$ من $4$ .

$A = 2$

$B = 2$

$A = 2$

$B = 2$

$A = 2$

$B = 2$

$A = 2$

$B = 2$

خطوة 3.5

اسرِد جميع الحلول.

$A = 2, B = 2$

خطوة 4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$\frac{2}{x + 1} + \frac{2}{x - 1}$