ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{3} + 10 x^{2} - 5 x - 42 = 0$

خطوة 1

حلّل $x^{3} + 10 x^{2} - 5 x - 42$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 42, \pm 2, \pm 21, \pm 3, \pm 14, \pm 6, \pm 7$

$q = \pm 1$

خطوة 1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 42, \pm 2, \pm 21, \pm 3, \pm 14, \pm 6, \pm 7$

خطوة 1.3

عوّض بـ $- 2$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $- 2$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بـ $- 2$ في متعدد الحدود.

${(- 2)}^{3} + 10 {(- 2)}^{2} - 5 \cdot - 2 - 42$

خطوة 1.3.2

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$- 8 + 10 {(- 2)}^{2} - 5 \cdot - 2 - 42$

خطوة 1.3.3

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$- 8 + 10 \cdot 4 - 5 \cdot - 2 - 42$

خطوة 1.3.4

اضرب $10$ في $4$ .

$- 8 + 40 - 5 \cdot - 2 - 42$

خطوة 1.3.5

أضف $- 8$ و $40$ .

$32 - 5 \cdot - 2 - 42$

خطوة 1.3.6

اضرب $- 5$ في $- 2$ .

$32 + 10 - 42$

خطوة 1.3.7

أضف $32$ و $10$ .

$42 - 42$

خطوة 1.3.8

اطرح $42$ من $42$ .

$0$

خطوة 1.4

بما أن $- 2$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x + 2$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} + 10 x^{2} - 5 x - 42}{x + 2}$

خطوة 1.5

اقسِم $x^{3} + 10 x^{2} - 5 x - 42$ على $x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$5 x$

$42$

خطوة 1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$5 x$	-	$42$

خطوة 1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$5 x$	-	$42$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

خطوة 1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$5 x$	-	$42$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

خطوة 1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$5 x$	-	$42$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$

خطوة 1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$5 x$	-	$42$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$5 x$

خطوة 1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $8 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$5 x$	-	$42$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$5 x$

خطوة 1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$5 x$	-	$42$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$

خطوة 1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $8 x^{2} + 16 x$

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$5 x$	-	$42$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$

خطوة 1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$5 x$	-	$42$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$
							-	$21 x$

خطوة 1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$5 x$	-	$42$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$
							-	$21 x$	-	$42$

خطوة 1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 21 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$	-	$21$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$5 x$	-	$42$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$
							-	$21 x$	-	$42$

خطوة 1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	+	$8 x$	-	$21$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$5 x$	-	$42$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$
							-	$21 x$	-	$42$
							-	$21 x$	-	$42$

خطوة 1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 21 x - 42$

				$x^{2}$	+	$8 x$	-	$21$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$5 x$	-	$42$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$
							-	$21 x$	-	$42$
							+	$21 x$	+	$42$

خطوة 1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	+	$8 x$	-	$21$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$5 x$	-	$42$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$
							-	$21 x$	-	$42$
							+	$21 x$	+	$42$
										$0$

خطوة 1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{2} + 8 x - 21$

خطوة 1.6

اكتب $x^{3} + 10 x^{2} - 5 x - 42$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(x + 2) (x^{2} + 8 x - 21) = 0$

خطوة 2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x + 2 = 0$

$x^{2} + 8 x - 21 = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة العبارة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 3.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $x^{2} + 8 x - 21$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $x^{2} + 8 x - 21$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} + 8 x - 21 = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} + 8 x - 21 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 4.2.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = 8$ و $c = - 21$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 21)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.1

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 21}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 21$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 21}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 21$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 84}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.3

أضف $64$ و $84$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{148}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.4

أعِد كتابة $148$ بالصيغة $2^{2} \cdot 37$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $148$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (37)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 37}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{37}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{37}}{2}$

خطوة 4.2.3.3

بسّط $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{37}}{2}$ .

$x = - 4 \pm \sqrt{37}$

خطوة 4.2.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = - 4 + \sqrt{37}, - 4 - \sqrt{37}$

خطوة 5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x + 2) (x^{2} + 8 x - 21) = 0$ صحيحة.

$x = - 2, - 4 + \sqrt{37}, - 4 - \sqrt{37}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$x = - 2, - 4 + \sqrt{37}, - 4 - \sqrt{37}$

الصيغة العشرية:

$x = - 2, 2.08276253 \dots, - 10.08276253 \dots$

خطوة 7