ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$3 x^{2} - 4 y^{2} - 6 x - 16 y + 11 = 0$

خطوة 1

اطرح $11$ من كلا المتعادلين.

$3 x^{2} - 4 y^{2} - 6 x - 16 y = - 11$

خطوة 2

أكمل المربع لـ $3 x^{2} - 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 3$

$b = - 6$

$c = 0$

خطوة 2.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (3)}$

خطوة 2.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 3}{3}$

خطوة 2.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 3$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3}$

خطوة 2.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)}$

خطوة 2.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1}$

خطوة 2.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 1}{1}$

خطوة 2.3.2.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$d = - 1$

خطوة 2.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 3}$

خطوة 2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.1

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 3}$

خطوة 2.4.2.1.2

اضرب $4$ في $3$ .

$e = 0 - \frac{36}{12}$

خطوة 2.4.2.1.3

اقسِم $36$ على $12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 3$

خطوة 2.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $3$ .

$e = 0 - 3$

خطوة 2.4.2.2

اطرح $3$ من $0$ .

$e = - 3$

خطوة 2.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $3 {(x - 1)}^{2} - 3$ .

$3 {(x - 1)}^{2} - 3$

خطوة 3

استبدِل $3 x^{2} - 6 x$ بـ $3 {(x - 1)}^{2} - 3$ في المعادلة $3 x^{2} - 4 y^{2} - 6 x - 16 y = - 11$ .

$3 {(x - 1)}^{2} - 3 - 4 y^{2} - 16 y = - 11$

خطوة 4

انقُل $- 3$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $3$ إلى كلا الطرفين.

$3 {(x - 1)}^{2} - 4 y^{2} - 16 y = - 11 + 3$

خطوة 5

أكمل المربع لـ $- 4 y^{2} - 16 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - 4$

$b = - 16$

$c = 0$

خطوة 5.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 16}{2 \cdot - 4}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 16$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot - 4}$

خطوة 5.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (- 4)}$

خطوة 5.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot - 4}$

خطوة 5.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 8}{- 4}$

خطوة 5.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 8$ و $- 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

أخرِج العامل $- 4$ من $- 8$ .

$d = \frac{- 4 (2)}{- 4}$

خطوة 5.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $- 4$ من $- 4$ .

$d = \frac{- 4 \cdot 2}{- 4 \cdot 1}$

خطوة 5.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{- 4 \cdot 2}{- 4 \cdot 1}$

خطوة 5.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{2}{1}$

خطوة 5.3.2.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$d = 2$

خطوة 5.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ارفع $- 16$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot - 4}$

خطوة 5.4.2.1.2

اضرب $4$ في $- 4$ .

$e = 0 - \frac{256}{- 16}$

خطوة 5.4.2.1.3

اقسِم $256$ على $- 16$ .

$e = 0 - - 16$

خطوة 5.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $- 16$ .

$e = 0 + 16$

خطوة 5.4.2.2

أضف $0$ و $16$ .

$e = 16$

خطوة 5.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- 4 {(y + 2)}^{2} + 16$ .

$- 4 {(y + 2)}^{2} + 16$

خطوة 6

استبدِل $- 4 y^{2} - 16 y$ بـ $- 4 {(y + 2)}^{2} + 16$ في المعادلة $3 x^{2} - 4 y^{2} - 6 x - 16 y = - 11$ .

$3 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 2)}^{2} + 16 = - 11 + 3$

خطوة 7

انقُل $16$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $16$ إلى كلا الطرفين.

$3 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 2)}^{2} = - 11 + 3 - 16$

خطوة 8

بسّط $- 11 + 3 - 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أضف $- 11$ و $3$ .

$3 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 2)}^{2} = - 8 - 16$

خطوة 8.2

اطرح $16$ من $- 8$ .

$3 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 2)}^{2} = - 24$

خطوة 9

اعكس العلامة في كل حد من حدود المعادلة بحيث يصبح الحد الموجود على الجانب الأيمن موجبًا.

$- 3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 2)}^{2} = 24$

خطوة 10

اقسِم كل حد على $24$ ليصبح الطرف الأيمن مساويًا لواحد.

$- \frac{3 {(x - 1)}^{2}}{24} + \frac{4 {(y + 2)}^{2}}{24} = \frac{24}{24}$

خطوة 11

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{{(y + 2)}^{2}}{6} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{8} = 1$