ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 6 y + 17 = 0$

خطوة 1

اطرح $17$ من كلا المتعادلين.

$4 x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 6 y = - 17$

خطوة 2

أكمل المربع لـ $4 x^{2} - 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 4$

$b = - 4$

$c = 0$

خطوة 2.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (4)}$

خطوة 2.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 4}$

خطوة 2.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 2}{4}$

خطوة 2.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$d = \frac{2 (- 1)}{4}$

خطوة 2.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 1}{2}$

خطوة 2.3.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$d = - \frac{1}{2}$

خطوة 2.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 4}$

خطوة 2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.1

احذِف العامل المشترك لـ ${(- 4)}^{2}$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.1.1

أعِد كتابة $- 4$ بالصيغة $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 4}$

خطوة 2.4.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 4}$

خطوة 2.4.2.1.1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 4}$

خطوة 2.4.2.1.1.4

اضرب $4^{2}$ في $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 4}$

خطوة 2.4.2.1.1.5

أخرِج العامل $4$ من $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

خطوة 2.4.2.1.1.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.1.6.1

أخرِج العامل $4$ من $4 \cdot 4$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (4)}$

خطوة 2.4.2.1.1.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

خطوة 2.4.2.1.1.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

خطوة 2.4.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

خطوة 2.4.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

خطوة 2.4.2.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$e = 0 - 1$

خطوة 2.4.2.2

اطرح $1$ من $0$ .

$e = - 1$

خطوة 2.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 1$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 1$

خطوة 3

استبدِل $4 x^{2} - 4 x$ بـ $4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 1$ في المعادلة $4 x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 6 y = - 17$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 1 - 4 y^{2} + 6 y = - 17$

خطوة 4

انقُل $- 1$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $1$ إلى كلا الطرفين.

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 y^{2} + 6 y = - 17 + 1$

خطوة 5

أكمل المربع لـ $- 4 y^{2} + 6 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - 4$

$b = 6$

$c = 0$

خطوة 5.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot - 4}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 4}$

خطوة 5.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (- 4)}$

خطوة 5.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 4}$

خطوة 5.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{3}{- 4}$

خطوة 5.3.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$d = - \frac{3}{4}$

خطوة 5.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot - 4}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 4}$

خطوة 5.4.2.1.2

اضرب $4$ في $- 4$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 16}$

خطوة 5.4.2.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $36$ و $- 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.3.1

أخرِج العامل $4$ من $36$ .

$e = 0 - \frac{4 (9)}{- 16}$

خطوة 5.4.2.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $- 16$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot - 4}$

خطوة 5.4.2.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot - 4}$

خطوة 5.4.2.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e = 0 - \frac{9}{- 4}$

خطوة 5.4.2.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$e = 0 - - \frac{9}{4}$

خطوة 5.4.2.1.5

اضرب $- - \frac{9}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{9}{4})$

خطوة 5.4.2.1.5.2

اضرب $\frac{9}{4}$ في $1$ .

$e = 0 + \frac{9}{4}$

خطوة 5.4.2.2

أضف $0$ و $\frac{9}{4}$ .

$e = \frac{9}{4}$

خطوة 5.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{9}{4}$ .

$- 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{9}{4}$

خطوة 6

استبدِل $- 4 y^{2} + 6 y$ بـ $- 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{9}{4}$ في المعادلة $4 x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 6 y = - 17$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{9}{4} = - 17 + 1$

خطوة 7

انقُل $\frac{9}{4}$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $\frac{9}{4}$ إلى كلا الطرفين.

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = - 17 + 1 - \frac{9}{4}$

خطوة 8

بسّط $- 17 + 1 - \frac{9}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

اكتب $- 17$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17}{1} + 1 - \frac{9}{4}$

خطوة 8.1.2

اضرب $\frac{- 17}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17}{1} \cdot \frac{4}{4} + 1 - \frac{9}{4}$

خطوة 8.1.3

اضرب $\frac{- 17}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17 \cdot 4}{4} + 1 - \frac{9}{4}$

خطوة 8.1.4

اكتب $1$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} - \frac{9}{4}$

خطوة 8.1.5

اضرب $\frac{1}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}$

خطوة 8.1.6

اضرب $\frac{1}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4} - \frac{9}{4}$

خطوة 8.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17 \cdot 4 + 4 - 9}{4}$

خطوة 8.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اضرب $- 17$ في $4$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 68 + 4 - 9}{4}$

خطوة 8.3.2

أضف $- 68$ و $4$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 64 - 9}{4}$

خطوة 8.3.3

اطرح $9$ من $- 64$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 73}{4}$

خطوة 8.3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = - \frac{73}{4}$

خطوة 9

اعكس العلامة في كل حد من حدود المعادلة بحيث يصبح الحد الموجود على الجانب الأيمن موجبًا.

$- 4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{73}{4}$

خطوة 10

اقسِم كل حد على $\frac{73}{4}$ ليصبح الطرف الأيمن مساويًا لواحد.

$- \frac{4 {(x - \frac{1}{2})}^{2}}{\frac{73}{4}} + \frac{4 {(y - \frac{3}{4})}^{2}}{\frac{73}{4}} = \frac{\frac{73}{4}}{\frac{73}{4}}$

خطوة 11

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{{(y - \frac{3}{4})}^{2}}{\frac{73}{16}} - \frac{{(x - \frac{1}{2})}^{2}}{\frac{73}{16}} = 1$