ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{x^{2}}{2} = 1$

خطوة 1

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{y^{2}}{6} - \frac{x^{2}}{2} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الزائد. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المُستخدمة لإيجاد رؤوس القطع الزائد وخطوط تقاربه.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الزائد بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل، $a$ .

$a = \sqrt{6}$

$b = \sqrt{2}$

$k = 0$

$h = 0$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الزائد الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(0, 0)$

خطوة 5

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(\sqrt{6})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أعِد كتابة ${\sqrt{6}}^{2}$ بالصيغة $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{6}$ في صورة $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 5.3.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 5.3.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\sqrt{6^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 5.3.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sqrt{6^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 5.3.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt{6^{1} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 5.3.1.5

احسِب قيمة الأُس.

$\sqrt{6 + {(\sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 5.3.2

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{6 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 5.3.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{6 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 5.3.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\sqrt{6 + 2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.3.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sqrt{6 + 2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.3.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt{6 + 2^{1}}$

خطوة 5.3.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$\sqrt{6 + 2}$

خطوة 5.3.3

أضف $6$ و $2$ .

$\sqrt{8}$

خطوة 5.3.4

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$\sqrt{4 (2)}$

خطوة 5.3.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 2}$

خطوة 5.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$2 \sqrt{2}$

خطوة 6

أوجِد الرؤوس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن إيجاد الرأس الأول لقطع زائد بجمع $a$ مع $k$ .

$(h, k + a)$

خطوة 6.2

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(0, \sqrt{6})$

خطوة 6.3

يمكن إيجاد الرأس الثاني لقطع زائد بطرح $a$ من $k$ .

$(h, k - a)$

خطوة 6.4

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(0, - \sqrt{6})$

خطوة 6.5

تتبع رؤوس القطع الزائد صيغة $(h, k \pm a)$ . القطوع الزائدة لها رأسان.

$(0, \sqrt{6}), (0, - \sqrt{6})$

خطوة 7

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع زائد بجمع $c$ مع $k$ .

$(h, k + c)$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(0, 2 \sqrt{2})$

خطوة 7.3

يمكن إيجاد البؤرة الثانية لقطع زائد بطرح $c$ من $k$ .

$(h, k - c)$

خطوة 7.4

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(0, - 2 \sqrt{2})$

خطوة 7.5

تتبع بؤر القطع الزائد صيغة $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . القطوع الزائدة لها بؤرتان.

$(0, 2 \sqrt{2}), (0, - 2 \sqrt{2})$

خطوة 8

أوجِد الاختلاف المركزي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد الاختلاف المركزي باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

خطوة 8.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{6})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}}{\sqrt{6}}$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

أعِد كتابة ${\sqrt{6}}^{2}$ بالصيغة $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{6}$ في صورة $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{6}}$

خطوة 8.3.1.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{6}}$

خطوة 8.3.1.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{\sqrt{6^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{6}}$

خطوة 8.3.1.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{6^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{6}}$

خطوة 8.3.1.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{6^{1} + {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{6}}$

خطوة 8.3.1.1.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{\sqrt{6 + {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{6}}$

خطوة 8.3.1.2

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{6 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{6}}$

خطوة 8.3.1.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{6 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{6}}$

خطوة 8.3.1.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{\sqrt{6 + 2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{6}}$

خطوة 8.3.1.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{6 + 2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{6}}$

خطوة 8.3.1.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{6 + 2^{1}}}{\sqrt{6}}$

خطوة 8.3.1.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{\sqrt{6 + 2}}{\sqrt{6}}$

خطوة 8.3.1.3

أضف $6$ و $2$ .

$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{6}}$

خطوة 8.3.1.4

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$\frac{\sqrt{4 (2)}}{\sqrt{6}}$

خطوة 8.3.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{6}}$

خطوة 8.3.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{6}}$

خطوة 8.3.2

اجمع $\sqrt{2}$ و $\sqrt{6}$ في جذر واحد.

$2 \sqrt{\frac{2}{6}}$

خطوة 8.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$2 \sqrt{\frac{2 (1)}{6}}$

خطوة 8.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$2 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}$

خطوة 8.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}$

خطوة 8.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 \sqrt{\frac{1}{3}}$

خطوة 8.3.4

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{3}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$2 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

خطوة 8.3.5

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{3}}$

خطوة 8.3.6

اضرب $\frac{1}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$2 (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

خطوة 8.3.7

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.7.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 8.3.7.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

خطوة 8.3.7.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

خطوة 8.3.7.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 8.3.7.5

أضف $1$ و $1$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 8.3.7.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.7.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 8.3.7.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 8.3.7.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 8.3.7.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.7.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 8.3.7.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

خطوة 8.3.7.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$2 \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 8.3.8

اجمع $2$ و $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

خطوة 9

أوجِد المعلمة البؤرية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد قيمة المعلمة البؤرية للقطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

خطوة 9.2

عوّض بقيمتَي $b$ و $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ في القاعدة.

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 9.3

احذِف العامل المشترك لـ ${\sqrt{2}}^{2}$ و $\sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

أخرِج العامل $\sqrt{2}$ من ${\sqrt{2}}^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 9.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

أخرِج العامل $\sqrt{2}$ من $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot 2}$

خطوة 9.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot 2}$

خطوة 9.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 10

تتبع خطوط التقارب الصيغة $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ لأن هذا القطع الزائد مفتوح إلى أعلى وإلى أسفل.

$y = \pm \sqrt{3} \cdot x + 0$

خطوة 11

أضف $\sqrt{3} \cdot x$ و $0$ .

$y = \sqrt{3} x$

خطوة 12

أضف $- \sqrt{3} \cdot x$ و $0$ .

$y = - \sqrt{3} x$

خطوة 13

يحتوي هذا القطع الزائد على خطي تقارب.

$y = \sqrt{3} x, y = - \sqrt{3} x$

خطوة 14

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل القطع الزائد بيانيًا وتحليله.

المركز: $(0, 0)$

الرؤوس: $(0, \sqrt{6}), (0, - \sqrt{6})$

البؤر: $(0, 2 \sqrt{2}), (0, - 2 \sqrt{2})$

الاختلاف المركزي: $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

المعلمة البؤرية: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوط التقارب: $y = \sqrt{3} x$ ، $y = - \sqrt{3} x$

خطوة 15