ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$d = 8 \cos (\frac{3 π}{4} t)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اجمع $\frac{3 π}{4}$ و $t$ .

$\frac{d}{d t} [8 \cos (\frac{3 π t}{4})]$

خطوة 1.1.2

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $8 \cos (\frac{3 π t}{4})$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $8 \frac{d}{d t} [\cos (\frac{3 π t}{4})]$ .

$8 \frac{d}{d t} [\cos (\frac{3 π t}{4})]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \cos (t)$ و $g (t) = \frac{3 π t}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{3 π t}{4}$ .

$8 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d t} [\frac{3 π t}{4}])$

خطوة 1.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$8 (- \sin (u) \frac{d}{d t} [\frac{3 π t}{4}])$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{3 π t}{4}$ .

$8 (- \sin (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} [\frac{3 π t}{4}])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $- 1$ في $8$ .

$- 8 (\sin (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} [\frac{3 π t}{4}])$

خطوة 1.3.2

بما أن $\frac{3 π}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{3 π t}{4}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\frac{3 π}{4} \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 8 \sin (\frac{3 π t}{4}) (\frac{3 π}{4} \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 1.3.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

اجمع $\frac{3 π}{4}$ و $- 8$ .

$\frac{3 π \cdot - 8}{4} \sin (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 1.3.3.2

اضرب $- 8$ في $3$ .

$\frac{- 24 π}{4} \sin (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 1.3.3.3

اجمع $\frac{- 24 π}{4}$ و $\sin (\frac{3 π t}{4})$ .

$\frac{- 24 π \sin (\frac{3 π t}{4})}{4} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 1.3.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 24$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.4.1

أخرِج العامل $4$ من $- 24 π \sin (\frac{3 π t}{4})$ .

$\frac{4 (- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}))}{4} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 1.3.3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.4.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{4 (- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}))}{4 (1)} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 1.3.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 (- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}))}{4 \cdot 1} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 1.3.3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4})}{1} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 1.3.3.4.2.4

اقسِم $- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4})$ على $1$ .

$- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}) \cdot 1$

خطوة 1.3.5

اضرب $- 6$ في $1$ .

$- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4})$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $- 6 π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4})$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- 6 π \frac{d}{d t} [\sin (\frac{3 π t}{4})]$ .

$f'' (t) = - 6 π \frac{d}{d t} \sin (\frac{3 π t}{4})$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \sin (t)$ و $g (t) = \frac{3 π t}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{3 π t}{4}$ .

$f'' (t) = - 6 π (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d t} (\frac{3 π t}{4}))$

خطوة 2.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$f'' (t) = - 6 π (\cos (u) \frac{d}{d t} (\frac{3 π t}{4}))$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{3 π t}{4}$ .

$f'' (t) = - 6 π (\cos (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} (\frac{3 π t}{4}))$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $\frac{3 π}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{3 π t}{4}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\frac{3 π}{4} \frac{d}{d t} [t]$ .

$f'' (t) = - 6 π \cos (\frac{3 π t}{4}) (\frac{3 π}{4} \cdot \frac{d}{d t} (t))$

خطوة 2.3.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اجمع $\frac{3 π}{4}$ و $- 6$ .

$f'' (t) = \frac{3 π \cdot - 6}{4} \cdot (π \cos (\frac{3 π t}{4})) \frac{d}{d t} (t)$

خطوة 2.3.2.2

اضرب $- 6$ في $3$ .

$f'' (t) = \frac{- 18 π}{4} \cdot (π \cos (\frac{3 π t}{4})) \frac{d}{d t} (t)$

خطوة 2.3.2.3

اجمع $\frac{- 18 π}{4}$ و $π$ .

$f'' (t) = \frac{- 18 π π}{4} \cdot \cos (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} (t)$

خطوة 2.4

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$f'' (t) = \frac{- 18 (π π)}{4} \cdot \cos (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} (t)$

خطوة 2.5

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$f'' (t) = \frac{- 18 (π π)}{4} \cdot \cos (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} (t)$

خطوة 2.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (t) = \frac{- 18 π^{1 + 1}}{4} \cdot \cos (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} (t)$

خطوة 2.7

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (t) = \frac{- 18 π^{2}}{4} \cdot \cos (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} (t)$

خطوة 2.7.2

اجمع $\frac{- 18 π^{2}}{4}$ و $\cos (\frac{3 π t}{4})$ .

$f'' (t) = \frac{- 18 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4})}{4} \cdot \frac{d}{d t} (t)$

خطوة 2.7.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 18$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 18 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4})$ .

$f'' (t) = \frac{2 (- 9 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4}))}{4} \cdot \frac{d}{d t} (t)$

خطوة 2.7.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f'' (t) = \frac{2 (- 9 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4}))}{2 (2)} \cdot \frac{d}{d t} (t)$

خطوة 2.7.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (t) = \frac{2 (- 9 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4}))}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d t} (t)$

خطوة 2.7.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (t) = \frac{- 9 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4})}{2} \cdot \frac{d}{d t} (t)$

خطوة 2.7.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (t) = - \frac{9 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4})}{2} \cdot \frac{d}{d t} t$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (t) = - \frac{9 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4})}{2} \cdot 1$

خطوة 2.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (t) = - \frac{9 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4})}{2}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}) = 0$

خطوة 4

اقسِم كل حد في $- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}) = 0$ على $- 6 π$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اقسِم كل حد في $- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}) = 0$ على $- 6 π$ .

$\frac{- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4})}{- 6 π} = \frac{0}{- 6 π}$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4})}{- 6 π} = \frac{0}{- 6 π}$

خطوة 4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{π \sin (\frac{3 π t}{4})}{π} = \frac{0}{- 6 π}$

خطوة 4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{π \sin (\frac{3 π t}{4})}{π} = \frac{0}{- 6 π}$

خطوة 4.2.2.2

اقسِم $\sin (\frac{3 π t}{4})$ على $1$ .

$\sin (\frac{3 π t}{4}) = \frac{0}{- 6 π}$

خطوة 4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $- 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

أخرِج العامل $6$ من $0$ .

$\sin (\frac{3 π t}{4}) = \frac{6 (0)}{- 6 π}$

خطوة 4.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.2.1

أخرِج العامل $6$ من $- 6 π$ .

$\sin (\frac{3 π t}{4}) = \frac{6 (0)}{6 (- π)}$

خطوة 4.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (\frac{3 π t}{4}) = \frac{6 \cdot 0}{6 (- π)}$

خطوة 4.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (\frac{3 π t}{4}) = \frac{0}{- π}$

خطوة 4.3.2

اقسِم $0$ على $- π$ .

$\sin (\frac{3 π t}{4}) = 0$

خطوة 5

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $t$ من داخل الجيب.

$\frac{3 π t}{4} = \arcsin (0)$

خطوة 6

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$\frac{3 π t}{4} = 0$

خطوة 7

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$3 π t = 0$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $3 π t = 0$ على $3 π$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $3 π t = 0$ على $3 π$ .

$\frac{3 π t}{3 π} = \frac{0}{3 π}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 π t}{3 π} = \frac{0}{3 π}$

خطوة 8.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{π t}{π} = \frac{0}{3 π}$

خطوة 8.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{π t}{π} = \frac{0}{3 π}$

خطوة 8.2.2.2

اقسِم $t$ على $1$ .

$t = \frac{0}{3 π}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$t = \frac{3 (0)}{3 π}$

خطوة 8.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 π$ .

$t = \frac{3 (0)}{3 (π)}$

خطوة 8.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$t = \frac{3 \cdot 0}{3 π}$

خطوة 8.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$t = \frac{0}{π}$

خطوة 8.3.2

اقسِم $0$ على $π$ .

$t = 0$

خطوة 9

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$\frac{3 π t}{4} = π - 0$

خطوة 10

أوجِد قيمة $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب كلا المتعادلين في $\frac{4}{3 π}$ .

$\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π t}{4} = \frac{4}{3 π} (π - 0)$

خطوة 10.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.1

بسّط $\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π t}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π t}{4} = \frac{4}{3 π} (π - 0)$

خطوة 10.2.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3 π} (3 π t) = \frac{4}{3 π} (π - 0)$

خطوة 10.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.1.2.1

أخرِج العامل $3 π$ من $3 π t$ .

$\frac{1}{3 π} (3 π (t)) = \frac{4}{3 π} (π - 0)$

خطوة 10.2.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3 π} (3 π t) = \frac{4}{3 π} (π - 0)$

خطوة 10.2.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$t = \frac{4}{3 π} (π - 0)$

خطوة 10.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

بسّط $\frac{4}{3 π} (π - 0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1.1

اطرح $0$ من $π$ .

$t = \frac{4}{3 π} π$

خطوة 10.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1.2.1

أخرِج العامل $π$ من $3 π$ .

$t = \frac{4}{π \cdot 3} π$

خطوة 10.2.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$t = \frac{4}{π \cdot 3} π$

خطوة 10.2.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$t = \frac{4}{3}$

خطوة 11

حل المعادلة $\frac{3 π t}{4} = 0$ .

$t = 0, \frac{4}{3}$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني في $t = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{3 π (0)}{4})}{2}$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

أخرِج العامل $4$ من $3 π (0)$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{4 (3 π \cdot (0))}{4})}{2}$

خطوة 13.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{4 (3 π \cdot (0))}{4 (1)})}{2}$

خطوة 13.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{4 (3 π \cdot (0))}{4 \cdot 1})}{2}$

خطوة 13.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{3 π \cdot (0)}{1})}{2}$

خطوة 13.1.2.4

اقسِم $3 π \cdot (0)$ على $1$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (3 π \cdot (0))}{2}$

خطوة 13.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1.1

اضرب $0$ في $3$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (0 π)}{2}$

خطوة 13.2.1.2

اضرب $0$ في $π$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (0)}{2}$

خطوة 13.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- \frac{9 π^{2} \cdot 1}{2}$

خطوة 13.2.3

اضرب $9$ في $1$ .

$- \frac{9 π^{2}}{2}$

خطوة 14

$t = 0$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$t = 0$ هي حد أقصى محلي

خطوة 15

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $t = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

استبدِل المتغير $t$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = 8 \cos (\frac{3 π}{4} \cdot (0))$

خطوة 15.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

اضرب $\frac{3 π}{4}$ في $0$ .

$f (0) = 8 \cos (0)$

خطوة 15.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (0) = 8 \cdot 1$

خطوة 15.2.3

اضرب $8$ في $1$ .

$f (0) = 8$

خطوة 15.2.4

الإجابة النهائية هي $8$ .

$y = 8$

خطوة 16

احسِب قيمة المشتق الثاني في $t = \frac{4}{3}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{3 π (\frac{4}{3})}{4})}{2}$

خطوة 17

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1.1

اجمع $\frac{4}{3}$ و $3$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{\frac{4 \cdot 3}{3} π}{4})}{2}$

خطوة 17.1.2

اجمع $\frac{4 \cdot 3}{3}$ و $π$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{\frac{4 \cdot 3 π}{3}}{4})}{2}$

خطوة 17.2

اضرب $4$ في $3$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{\frac{12 π}{3}}{4})}{2}$

خطوة 17.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.3.1

اختزِل العبارة $\frac{12 π}{3}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.3.1.1

أخرِج العامل $3$ من $12 π$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3}}{4})}{2}$

خطوة 17.3.1.2

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3 (1)}}{4})}{2}$

خطوة 17.3.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3 \cdot 1}}{4})}{2}$

خطوة 17.3.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{\frac{4 π}{1}}{4})}{2}$

خطوة 17.3.2

اقسِم $4 π$ على $1$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{4 π}{4})}{2}$

خطوة 17.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.4.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.4.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{4 π}{4})}{2}$

خطوة 17.4.1.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (π)}{2}$

خطوة 17.4.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$- \frac{9 π^{2} (- \cos (0))}{2}$

خطوة 17.4.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- \frac{9 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{2}$

خطوة 17.4.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{9 π^{2} \cdot - 1}{2}$

خطوة 17.4.5

اضرب $- 1$ في $9$ .

$- \frac{- 9 π^{2}}{2}$

خطوة 17.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- - \frac{9 π^{2}}{2}$

خطوة 17.6

اضرب $- - \frac{9 π^{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{9 π^{2}}{2}$

خطوة 17.6.2

اضرب $\frac{9 π^{2}}{2}$ في $1$ .

$\frac{9 π^{2}}{2}$

خطوة 18

$t = \frac{4}{3}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$t = \frac{4}{3}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 19

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $t = \frac{4}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

استبدِل المتغير $t$ بـ $\frac{4}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{4}{3}) = 8 \cos (\frac{3 π}{4} \cdot (\frac{4}{3}))$

خطوة 19.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3 π$ .

$f (\frac{4}{3}) = 8 \cos (\frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{4}{3})$

خطوة 19.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{4}{3}) = 8 \cos (\frac{3 π}{4} \cdot \frac{4}{3})$

خطوة 19.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{4}{3}) = 8 \cos (\frac{π}{4} \cdot 4)$

خطوة 19.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{4}{3}) = 8 \cos (\frac{π}{4} \cdot 4)$

خطوة 19.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{4}{3}) = 8 \cos (π)$

خطوة 19.2.3

$f (\frac{4}{3}) = 8 (- \cos (0))$

خطوة 19.2.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = 8 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 19.2.5

اضرب $8 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.5.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = 8 \cdot - 1$

خطوة 19.2.5.2

اضرب $8$ في $- 1$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 8$

خطوة 19.2.6

الإجابة النهائية هي $- 8$ .

$y = - 8$

خطوة 20

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (t) = 8 \cos (\frac{3 π}{4} t)$ .

$(0, 8)$ هي نقطة قصوى محلية

$(\frac{4}{3}, - 8)$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 21