ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$d = 5 \sin (\frac{π}{4} t)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اجمع $\frac{π}{4}$ و $t$ .

$\frac{d}{d t} [5 \sin (\frac{π t}{4})]$

خطوة 1.1.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $5 \sin (\frac{π t}{4})$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $5 \frac{d}{d t} [\sin (\frac{π t}{4})]$ .

$5 \frac{d}{d t} [\sin (\frac{π t}{4})]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \sin (t)$ و $g (t) = \frac{π t}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{π t}{4}$ .

$5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [\frac{π t}{4}])$

خطوة 1.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$5 (\cos (u) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{4}])$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{π t}{4}$ .

$5 (\cos (\frac{π t}{4}) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{4}])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $\frac{π}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{π t}{4}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\frac{π}{4} \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 \cos (\frac{π t}{4}) (\frac{π}{4} \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 1.3.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

اجمع $\frac{π}{4}$ و $5$ .

$\frac{π \cdot 5}{4} \cos (\frac{π t}{4}) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 1.3.2.2

اجمع $\frac{π \cdot 5}{4}$ و $\cos (\frac{π t}{4})$ .

$\frac{π \cdot 5 \cos (\frac{π t}{4})}{4} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 1.3.2.3

انقُل $5$ إلى يسار $π$ .

$\frac{5 \cdot π \cos (\frac{π t}{4})}{4} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{5 π \cos (\frac{π t}{4})}{4} \cdot 1$

خطوة 1.3.4

اضرب $\frac{5 π \cos (\frac{π t}{4})}{4}$ في $1$ .

$\frac{5 π \cos (\frac{π t}{4})}{4}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $\frac{5 π}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{5 π \cos (\frac{π t}{4})}{4}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\frac{5 π}{4} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{π t}{4})]$ .

$f'' (t) = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{d}{d t} (\cos (\frac{π t}{4}))$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \cos (t)$ و $g (t) = \frac{π t}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{π t}{4}$ .

$f'' (t) = \frac{5 π}{4} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d t} (\frac{π t}{4}))$

خطوة 2.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$f'' (t) = \frac{5 π}{4} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d t} \frac{π t}{4})$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{π t}{4}$ .

$f'' (t) = \frac{5 π}{4} \cdot (- \sin (\frac{π t}{4}) \frac{d}{d t} \frac{π t}{4})$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اجمع $\frac{5 π}{4}$ و $\sin (\frac{π t}{4})$ .

$f'' (t) = - \frac{5 π \sin (\frac{π t}{4})}{4} \cdot \frac{d}{d t} \frac{π t}{4}$

خطوة 2.3.2

بما أن $\frac{π}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{π t}{4}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\frac{π}{4} \frac{d}{d t} [t]$ .

$f'' (t) = - \frac{5 π \sin (\frac{π t}{4})}{4} \cdot (\frac{π}{4} \cdot \frac{d}{d t} (t))$

خطوة 2.3.3

اضرب $\frac{π}{4}$ في $\frac{5 π \sin (\frac{π t}{4})}{4}$ .

$f'' (t) = - \frac{π (5 π \sin (\frac{π t}{4}))}{4 \cdot 4} \cdot \frac{d}{d t} t$

خطوة 2.4

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$f'' (t) = - \frac{5 (π π) \sin (\frac{π t}{4})}{4 \cdot 4} \cdot \frac{d}{d t} t$

خطوة 2.5

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$f'' (t) = - \frac{5 (π π) \sin (\frac{π t}{4})}{4 \cdot 4} \cdot \frac{d}{d t} t$

خطوة 2.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (t) = - \frac{5 π^{1 + 1} \sin (\frac{π t}{4})}{4 \cdot 4} \cdot \frac{d}{d t} t$

خطوة 2.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (t) = - \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π t}{4})}{4 \cdot 4} \cdot \frac{d}{d t} t$

خطوة 2.7.2

اضرب $4$ في $4$ .

$f'' (t) = - \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π t}{4})}{16} \cdot \frac{d}{d t} t$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (t) = - \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π t}{4})}{16} \cdot 1$

خطوة 2.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (t) = - \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π t}{4})}{16}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{5 π \cos (\frac{π t}{4})}{4} = 0$

خطوة 4

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$5 π \cos (\frac{π t}{4}) = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $t$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم كل حد في $5 π \cos (\frac{π t}{4}) = 0$ على $5 π$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اقسِم كل حد في $5 π \cos (\frac{π t}{4}) = 0$ على $5 π$ .

$\frac{5 π \cos (\frac{π t}{4})}{5 π} = \frac{0}{5 π}$

خطوة 5.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 π \cos (\frac{π t}{4})}{5 π} = \frac{0}{5 π}$

خطوة 5.1.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{π \cos (\frac{π t}{4})}{π} = \frac{0}{5 π}$

خطوة 5.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{π \cos (\frac{π t}{4})}{π} = \frac{0}{5 π}$

خطوة 5.1.2.2.2

اقسِم $\cos (\frac{π t}{4})$ على $1$ .

$\cos (\frac{π t}{4}) = \frac{0}{5 π}$

خطوة 5.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1.1

أخرِج العامل $5$ من $0$ .

$\cos (\frac{π t}{4}) = \frac{5 (0)}{5 π}$

خطوة 5.1.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5 π$ .

$\cos (\frac{π t}{4}) = \frac{5 (0)}{5 (π)}$

خطوة 5.1.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\cos (\frac{π t}{4}) = \frac{5 \cdot 0}{5 π}$

خطوة 5.1.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\cos (\frac{π t}{4}) = \frac{0}{π}$

خطوة 5.1.3.2

اقسِم $0$ على $π$ .

$\cos (\frac{π t}{4}) = 0$

خطوة 5.2

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $t$ من داخل جيب التمام.

$\frac{π t}{4} = \arccos (0)$

خطوة 5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π t}{4} = \frac{π}{2}$

خطوة 5.4

اضرب كلا المتعادلين في $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

خطوة 5.5

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1

بسّط $\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

خطوة 5.5.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

خطوة 5.5.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1.2.1

أخرِج العامل $π$ من $π t$ .

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

خطوة 5.5.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

خطوة 5.5.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$t = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

بسّط $\frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$t = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{π}{2}$

خطوة 5.5.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$t = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π}{2}$

خطوة 5.5.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$t = \frac{2}{π} π$

خطوة 5.5.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$t = \frac{2}{π} π$

خطوة 5.5.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$t = 2$

خطوة 5.6

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$\frac{π t}{4} = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 5.7

أوجِد قيمة $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

اضرب كلا المتعادلين في $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

خطوة 5.7.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.1.1

بسّط $\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

خطوة 5.7.2.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

خطوة 5.7.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.1.1.2.1

أخرِج العامل $π$ من $π t$ .

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{4}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

خطوة 5.7.2.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

خطوة 5.7.2.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$t = \frac{4}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

خطوة 5.7.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.2.1

بسّط $\frac{4}{π} (2 π - \frac{π}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.2.1.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$t = \frac{4}{π} (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

خطوة 5.7.2.2.1.2

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$t = \frac{4}{π} (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

خطوة 5.7.2.2.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$t = \frac{4}{π} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 5.7.2.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.2.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$t = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 5.7.2.2.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$t = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 5.7.2.2.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$t = \frac{2}{π} (2 π \cdot 2 - π)$

خطوة 5.7.2.2.1.5

اضرب $2$ في $2$ .

$t = \frac{2}{π} (4 π - π)$

خطوة 5.7.2.2.1.6

اطرح $π$ من $4 π$ .

$t = \frac{2}{π} (3 π)$

خطوة 5.7.2.2.1.7

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.2.1.7.1

أخرِج العامل $π$ من $3 π$ .

$t = \frac{2}{π} (π \cdot 3)$

خطوة 5.7.2.2.1.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$t = \frac{2}{π} (π \cdot 3)$

خطوة 5.7.2.2.1.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$t = 2 \cdot 3$

خطوة 5.7.2.2.1.8

اضرب $2$ في $3$ .

$t = 6$

خطوة 5.8

حل المعادلة $\frac{π t}{4} = \frac{π}{2}$ .

$t = 2, 6$

خطوة 6

احسِب قيمة المشتق الثاني في $t = 2$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π (2)}{4})}{16}$

خطوة 7

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أخرِج العامل $2$ من $π (2)$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π}{4})}{16}$

خطوة 7.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{16}$

خطوة 7.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{16}$

خطوة 7.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π}{2})}{16}$

خطوة 7.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$- \frac{5 π^{2} \cdot 1}{16}$

خطوة 7.2.2

اضرب $5$ في $1$ .

$- \frac{5 π^{2}}{16}$

خطوة 8

$t = 2$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$t = 2$ هي حد أقصى محلي

خطوة 9

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $t = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $t$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = 5 \sin (\frac{π}{4} \cdot (2))$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (2) = 5 \sin (\frac{π}{2 (2)} \cdot 2)$

خطوة 9.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (2) = 5 \sin (\frac{π}{2 \cdot 2} \cdot 2)$

خطوة 9.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (2) = 5 \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 9.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (2) = 5 \cdot 1$

خطوة 9.2.3

اضرب $5$ في $1$ .

$f (2) = 5$

خطوة 9.2.4

الإجابة النهائية هي $5$ .

$y = 5$

خطوة 10

احسِب قيمة المشتق الثاني في $t = 6$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π (6)}{4})}{16}$

خطوة 11

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

أخرِج العامل $2$ من $π (6)$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 (π \cdot (3))}{4})}{16}$

خطوة 11.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 (π \cdot (3))}{2 (2)})}{16}$

خطوة 11.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 (π \cdot (3))}{2 \cdot 2})}{16}$

خطوة 11.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π \cdot (3)}{2})}{16}$

خطوة 11.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

انقُل $3$ إلى يسار $π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 \cdot π}{2})}{16}$

خطوة 11.2.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$- \frac{5 π^{2} (- \sin (\frac{π}{2}))}{16}$

خطوة 11.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$- \frac{5 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{16}$

خطوة 11.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{5 π^{2} \cdot - 1}{16}$

خطوة 11.2.5

اضرب $- 1$ في $5$ .

$- \frac{- 5 π^{2}}{16}$

خطوة 11.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- - \frac{5 π^{2}}{16}$

خطوة 11.4

اضرب $- - \frac{5 π^{2}}{16}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{5 π^{2}}{16}$

خطوة 11.4.2

اضرب $\frac{5 π^{2}}{16}$ في $1$ .

$\frac{5 π^{2}}{16}$

خطوة 12

$t = 6$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$t = 6$ هي حد أدنى محلي

خطوة 13

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $t = 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

استبدِل المتغير $t$ بـ $6$ في العبارة.

$f (6) = 5 \sin (\frac{π}{4} \cdot (6))$

خطوة 13.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (6) = 5 \sin (\frac{π}{2 (2)} \cdot 6)$

خطوة 13.2.1.2

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$f (6) = 5 \sin (\frac{π}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3))$

خطوة 13.2.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (6) = 5 \sin (\frac{π}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3))$

خطوة 13.2.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (6) = 5 \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

خطوة 13.2.2

اجمع $\frac{π}{2}$ و $3$ .

$f (6) = 5 \sin (\frac{π \cdot 3}{2})$

خطوة 13.2.3

انقُل $3$ إلى يسار $π$ .

$f (6) = 5 \sin (\frac{3 \cdot π}{2})$

خطوة 13.2.4

$f (6) = 5 (- \sin (\frac{π}{2}))$

خطوة 13.2.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (6) = 5 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 13.2.6

اضرب $5 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.6.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (6) = 5 \cdot - 1$

خطوة 13.2.6.2

اضرب $5$ في $- 1$ .

$f (6) = - 5$

خطوة 13.2.7

الإجابة النهائية هي $- 5$ .

$y = - 5$

خطوة 14

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (t) = 5 \sin (\frac{π}{4} t)$ .

$(2, 5)$ هي نقطة قصوى محلية

$(6, - 5)$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 15