ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 7$

خطوة 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

${(- 7)}^{5} + 7 {(- 7)}^{4} + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

خطوة 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $x = - 7$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احذِف الأقواس.

${(- 7)}^{5} + 7 {(- 7)}^{4} + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ارفع $- 7$ إلى القوة $5$ .

$- 16807 + 7 {(- 7)}^{4} + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

خطوة 4.2.2

ارفع $- 7$ إلى القوة $4$ .

$- 16807 + 7 \cdot 2401 + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

خطوة 4.2.3

اضرب $7$ في $2401$ .

$- 16807 + 16807 + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

خطوة 4.2.4

ارفع $- 7$ إلى القوة $3$ .

$- 16807 + 16807 + 2 \cdot - 343 + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

خطوة 4.2.5

اضرب $2$ في $- 343$ .

$- 16807 + 16807 - 686 + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

خطوة 4.2.6

ارفع $- 7$ إلى القوة $2$ .

$- 16807 + 16807 - 686 + 14 \cdot 49 - 7 + 7$

خطوة 4.2.7

اضرب $14$ في $49$ .

$- 16807 + 16807 - 686 + 686 - 7 + 7$

خطوة 4.3

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أضف $- 16807$ و $16807$ .

$0 - 686 + 686 - 7 + 7$

خطوة 4.3.2

اطرح $686$ من $0$ .

$- 686 + 686 - 7 + 7$

خطوة 4.3.3

أضف $- 686$ و $686$ .

$0 - 7 + 7$

خطوة 4.3.4

اطرح $7$ من $0$ .

$- 7 + 7$

خطوة 4.3.5

أضف $- 7$ و $7$ .

$0$

خطوة 5

بما أن $- 7$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $x + 7$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7}{x + 7}$

خطوة 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$

خطوة 6.2

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(1)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$

	$1$

خطوة 6.3

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(1)$ في المقسوم عليه $(- 7)$ وضَع نتيجة $(- 7)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(7)$ .

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$
	$1$

خطوة 6.4

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$
	$1$	$0$

خطوة 6.5

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(0)$ في المقسوم عليه $(- 7)$ وضَع نتيجة $(0)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(2)$ .

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$
	$1$	$0$

خطوة 6.6

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$
	$1$	$0$	$2$

خطوة 6.7

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(2)$ في المقسوم عليه $(- 7)$ وضَع نتيجة $(- 14)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(14)$ .

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$
	$1$	$0$	$2$

خطوة 6.8

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$
	$1$	$0$	$2$	$0$

خطوة 6.9

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(0)$ في المقسوم عليه $(- 7)$ وضَع نتيجة $(0)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(1)$ .

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$
	$1$	$0$	$2$	$0$

خطوة 6.10

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$
	$1$	$0$	$2$	$0$	$1$

خطوة 6.11

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(1)$ في المقسوم عليه $(- 7)$ وضَع نتيجة $(- 7)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(7)$ .

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$	$- 7$
	$1$	$0$	$2$	$0$	$1$

خطوة 6.12

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$	$- 7$
	$1$	$0$	$2$	$0$	$1$	$0$

خطوة 6.13

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$1 x^{4} + 0 x^{3} + 2 x^{2} + 0 x + 1$

خطوة 6.14

بسّط ناتج قسمة متعدد الحدود.

$x^{4} + 2 x^{2} + 1$

خطوة 7

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x + 7) {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1$

خطوة 8

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$(x + 7) u^{2} + 2 u + 1$

خطوة 9

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$(x + 7) + u^{2} + 2 u + 1^{2}$

خطوة 9.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

خطوة 9.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$(x + 7) + u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}$

خطوة 9.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = u$ و $b = 1$ .

$(x + 7) + {(u + 1)}^{2}$

$(x + 7) {(u + 1)}^{2}$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$(x + 7) {(x^{2} + 1)}^{2}$

خطوة 11

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أعِد تجميع الحدود.

$x^{5} + 2 x^{3} + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

خطوة 11.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{5} + 2 x^{3} + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} + 2 x^{3} + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

خطوة 11.2.2

أخرِج العامل $x$ من $2 x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

خطوة 11.2.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

خطوة 11.2.4

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x \cdot 1 + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

خطوة 11.2.5

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x^{4} + x (2 x^{2})$ .

$x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1 + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

خطوة 11.2.6

أخرِج العامل $x$ من $x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1$ .

$x (x^{4} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

خطوة 11.3

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

خطوة 11.4

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$x (u^{2} + 2 u + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

خطوة 11.5

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$x (u^{2} + 2 u + 1^{2}) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

خطوة 11.5.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

خطوة 11.5.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$x (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

خطوة 11.5.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = u$ و $b = 1$ .

$x {(u + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

خطوة 11.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

خطوة 11.7

أخرِج العامل $7$ من $7 x^{4} + 14 x^{2} + 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.7.1

أخرِج العامل $7$ من $7 x^{4}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 14 x^{2} + 7 = 0$

خطوة 11.7.2

أخرِج العامل $7$ من $14 x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2}) + 7 = 0$

خطوة 11.7.3

أخرِج العامل $7$ من $7$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2}) + 7 (1) = 0$

خطوة 11.7.4

أخرِج العامل $7$ من $7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2})$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2}) + 7 (1) = 0$

خطوة 11.7.5

أخرِج العامل $7$ من $7 (x^{4} + 2 x^{2}) + 7 (1)$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) = 0$

خطوة 11.8

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) = 0$

خطوة 11.9

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

خطوة 11.10

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.10.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

خطوة 11.10.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

خطوة 11.10.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

خطوة 11.10.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = u$ و $b = 1$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(u + 1)}^{2} = 0$

خطوة 11.11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

خطوة 11.12

أخرِج العامل ${(x^{2} + 1)}^{2}$ من $x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.12.1

أخرِج العامل ${(x^{2} + 1)}^{2}$ من $x {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} x + 7 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

خطوة 11.12.2

أخرِج العامل ${(x^{2} + 1)}^{2}$ من $7 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 7 = 0$

خطوة 11.12.3

أخرِج العامل ${(x^{2} + 1)}^{2}$ من ${(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 7$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$

خطوة 12

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

$x + 7 = 0$

خطوة 13

عيّن قيمة العبارة ${(x^{2} + 1)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

عيّن قيمة ${(x^{2} + 1)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

خطوة 13.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

عيّن قيمة $x^{2} + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

خطوة 13.2.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} = - 1$

خطوة 13.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

خطوة 13.2.2.3

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \pm i$

خطوة 13.2.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = i$

خطوة 13.2.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - i$

خطوة 13.2.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = i, - i$

خطوة 14

عيّن قيمة العبارة $x + 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

عيّن قيمة $x + 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 7 = 0$

خطوة 14.2

اطرح $7$ من كلا المتعادلين.

$x = - 7$

خطوة 15

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة ${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$ صحيحة.

$x = i, - i, - 7$

خطوة 16