ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} + 9 y^{2} + 2 x + 18 y - 26 = 0$

خطوة 1

أوجِد الصيغة القياسية للقطع الناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أضف $26$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} + 9 y^{2} + 2 x + 18 y = 26$

خطوة 1.2

أكمل المربع لـ $x^{2} + 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

خطوة 1.2.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.2.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$d = 1$

خطوة 1.2.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.2.4.2.1.2

اضرب $4$ في $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

خطوة 1.2.4.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

خطوة 1.2.4.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

خطوة 1.2.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$e = 0 - 1$

خطوة 1.2.4.2.2

اطرح $1$ من $0$ .

$e = - 1$

خطوة 1.2.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس ${(x + 1)}^{2} - 1$ .

${(x + 1)}^{2} - 1$

خطوة 1.3

استبدِل $x^{2} + 2 x$ بـ ${(x + 1)}^{2} - 1$ في المعادلة $x^{2} + 9 y^{2} + 2 x + 18 y = 26$ .

${(x + 1)}^{2} - 1 + 9 y^{2} + 18 y = 26$

خطوة 1.4

انقُل $- 1$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $1$ إلى كلا الطرفين.

${(x + 1)}^{2} + 9 y^{2} + 18 y = 26 + 1$

خطوة 1.5

أكمل المربع لـ $9 y^{2} + 18 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 9$

$b = 18$

$c = 0$

خطوة 1.5.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.5.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{18}{2 \cdot 9}$

خطوة 1.5.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $18$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $18$ .

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 9}$

خطوة 1.5.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 (9)}$

خطوة 1.5.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 9}$

خطوة 1.5.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{9}{9}$

خطوة 1.5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{9}{9}$

خطوة 1.5.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$d = 1$

خطوة 1.5.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{18^{2}}{4 \cdot 9}$

خطوة 1.5.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

ارفع $18$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 9}$

خطوة 1.5.4.2.1.2

اضرب $4$ في $9$ .

$e = 0 - \frac{324}{36}$

خطوة 1.5.4.2.1.3

اقسِم $324$ على $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

خطوة 1.5.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $9$ .

$e = 0 - 9$

خطوة 1.5.4.2.2

اطرح $9$ من $0$ .

$e = - 9$

خطوة 1.5.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $9 {(y + 1)}^{2} - 9$ .

$9 {(y + 1)}^{2} - 9$

خطوة 1.6

استبدِل $9 y^{2} + 18 y$ بـ $9 {(y + 1)}^{2} - 9$ في المعادلة $x^{2} + 9 y^{2} + 2 x + 18 y = 26$ .

${(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 1)}^{2} - 9 = 26 + 1$

خطوة 1.7

انقُل $- 9$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $9$ إلى كلا الطرفين.

${(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 1)}^{2} = 26 + 1 + 9$

خطوة 1.8

بسّط $26 + 1 + 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

أضف $26$ و $1$ .

${(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 1)}^{2} = 27 + 9$

خطوة 1.8.2

أضف $27$ و $9$ .

${(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 1)}^{2} = 36$

خطوة 1.9

اقسِم كل حد على $36$ ليصبح الطرف الأيمن مساويًا لواحد.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{36} + \frac{9 {(y + 1)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

خطوة 1.10

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{36} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{4} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الناقص. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المستخدمة لإيجاد المركز بالإضافة إلى المحور الرئيسي والثانوي للقطع الناقص.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الناقص بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $a$ نصف قطر المحور الرئيسي للقطع الناقص، ويمثل $b$ نصف قطر المحور الثانوي للقطع الناقص، ويمثل $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل.

$a = 6$

$b = 2$

$k = - 1$

$h = - 1$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الناقص الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(- 1, - 1)$

خطوة 5

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الناقص باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(6)}^{2} - {(2)}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{36 - {(2)}^{2}}$

خطوة 5.3.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{36 - 1 \cdot 4}$

خطوة 5.3.3

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\sqrt{36 - 4}$

خطوة 5.3.4

اطرح $4$ من $36$ .

$\sqrt{32}$

خطوة 5.3.5

أعِد كتابة $32$ بالصيغة $4^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.1

أخرِج العامل $16$ من $32$ .

$\sqrt{16 (2)}$

خطوة 5.3.5.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2} \cdot 2}$

خطوة 5.3.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$4 \sqrt{2}$

خطوة 6

أوجِد الرؤوس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن إيجاد الرأس الأول لقطع ناقص بجمع $a$ مع $h$ .

$(h + a, k)$

خطوة 6.2

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(- 1 + 6, - 1)$

خطوة 6.3

بسّط.

$(5, - 1)$

خطوة 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

خطوة 6.5

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(- 1 - (6), - 1)$

خطوة 6.6

بسّط.

$(- 7, - 1)$

خطوة 6.7

القطوع الناقصة لها رأسان.

${Vertex}_{1}$ : $(5, - 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 7, - 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(5, - 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 7, - 1)$

خطوة 7

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع ناقص بجمع $c$ مع $h$ .

$(h + c, k)$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(- 1 + 4 \sqrt{2}, - 1)$

خطوة 7.3

يمكن إيجاد البؤرة الثانية لقطع ناقص بطرح $c$ من $h$ .

$(h - c, k)$

خطوة 7.4

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(- 1 - (4 \sqrt{2}), - 1)$

خطوة 7.5

بسّط.

$(- 1 - 4 \sqrt{2}, - 1)$

خطوة 7.6

القطوع الناقصة لها بؤرتان.

${Focus}_{1}$ : $(- 1 + 4 \sqrt{2}, - 1)$

${Focus}_{2}$ : $(- 1 - 4 \sqrt{2}, - 1)$

${Focus}_{1}$ : $(- 1 + 4 \sqrt{2}, - 1)$

${Focus}_{2}$ : $(- 1 - 4 \sqrt{2}, - 1)$

خطوة 8

أوجِد الاختلاف المركزي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد الاختلاف المركزي باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

خطوة 8.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} - {(2)}^{2}}}{6}$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 2^{2}}}{6}$

خطوة 8.3.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 1 \cdot 4}}{6}$

خطوة 8.3.1.3

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{\sqrt{36 - 4}}{6}$

خطوة 8.3.1.4

اطرح $4$ من $36$ .

$\frac{\sqrt{32}}{6}$

خطوة 8.3.1.5

أعِد كتابة $32$ بالصيغة $4^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.5.1

أخرِج العامل $16$ من $32$ .

$\frac{\sqrt{16 (2)}}{6}$

خطوة 8.3.1.5.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}{6}$

خطوة 8.3.1.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{4 \sqrt{2}}{6}$

خطوة 8.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{6}$

خطوة 8.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (3)}$

خطوة 8.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

خطوة 8.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

خطوة 9

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل القطع الناقص بيانيًا وتحليله.

المركز: $(- 1, - 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(5, - 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 7, - 1)$

${Focus}_{1}$ : $(- 1 + 4 \sqrt{2}, - 1)$

${Focus}_{2}$ : $(- 1 - 4 \sqrt{2}, - 1)$

الاختلاف المركزي: $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

خطوة 10