ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$1 + \sin (θ) = 2 \cos^{2} (θ)$

خطوة 1

اطرح $2 \cos^{2} (θ)$ من كلا المتعادلين.

$1 + \sin (θ) - 2 \cos^{2} (θ) = 0$

خطوة 2

استبدِل $- 2 \cos^{2} (θ)$ بـ $- 2 (1 - \sin^{2} (θ))$ بناءً على المتطابقة $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$1 + \sin (θ) - 2 (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

خطوة 3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$1 + \sin (θ) - 2 \cdot 1 - 2 (- \sin^{2} (θ)) = 0$

خطوة 3.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$1 + \sin (θ) - 2 - 2 (- \sin^{2} (θ)) = 0$

خطوة 3.3

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$1 + \sin (θ) - 2 + 2 \sin^{2} (θ) = 0$

خطوة 4

اطرح $2$ من $1$ .

$\sin (θ) - 1 + 2 \sin^{2} (θ) = 0$

خطوة 5

أعِد ترتيب متعدد الحدود.

$2 \sin^{2} (θ) + \sin (θ) - 1 = 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة $\sin (θ)$ التي تساوي $u$ .

$2 {(u)}^{2} + u - 1 = 0$

خطوة 7

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ ومجموعهما $b = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اضرب في $1$ .

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

خطوة 7.1.2

أعِد كتابة $1$ في صورة $- 1$ زائد $2$

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

خطوة 7.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

خطوة 7.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

خطوة 7.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

خطوة 7.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

خطوة 8

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

خطوة 9

عيّن قيمة العبارة $2 u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

عيّن قيمة $2 u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 u - 1 = 0$

خطوة 9.2

أوجِد قيمة $u$ في $2 u - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 u = 1$

خطوة 9.2.2

اقسِم كل حد في $2 u = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 u = 1$ على $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 9.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 9.2.2.2.1.2

اقسِم $u$ على $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

خطوة 10

عيّن قيمة العبارة $u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

عيّن قيمة $u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u + 1 = 0$

خطوة 10.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$u = - 1$

خطوة 11

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(2 u - 1) (u + 1) = 0$ صحيحة.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

خطوة 12

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}, - 1$

خطوة 13

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $θ$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

$\sin (θ) = - 1$

خطوة 14

أوجِد قيمة $θ$ في $\sin (θ) = \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل الجيب.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

خطوة 14.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (\frac{1}{2})$ هي $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

خطوة 14.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$θ = π - \frac{π}{6}$

خطوة 14.4

بسّط $π - \frac{π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$θ = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 14.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.2.1

اجمع $π$ و $\frac{6}{6}$ .

$θ = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 14.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$θ = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

خطوة 14.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.3.1

انقُل $6$ إلى يسار $π$ .

$θ = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

خطوة 14.4.3.2

اطرح $π$ من $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

خطوة 14.5

أوجِد فترة $\sin (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 14.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 14.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 14.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 14.6

فترة دالة $\sin (θ)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 15

أوجِد قيمة $θ$ في $\sin (θ) = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل الجيب.

$θ = \arcsin (- 1)$

خطوة 15.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (- 1)$ هي $- \frac{π}{2}$ .

$θ = - \frac{π}{2}$

خطوة 15.3

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$θ = 2 π + \frac{π}{2} + π$

خطوة 15.4

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

خطوة 15.4.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{3 π}{2}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

خطوة 15.5

أوجِد فترة $\sin (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 15.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 15.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 15.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 15.6

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.6.1

اجمع $2 π$ مع $- \frac{π}{2}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

خطوة 15.6.2

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 15.6.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.6.3.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 15.6.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 15.6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.6.4.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

خطوة 15.6.4.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

خطوة 15.6.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$θ = \frac{3 π}{2}$

خطوة 15.7

فترة دالة $\sin (θ)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 16

اسرِد جميع الحلول.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 17

وحّد الإجابات.

$θ = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ ، لأي عدد صحيح $n$