ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 \cos^{2} (22.5 °) - 1$

خطوة 1

طبّق متطابقة ضعف الزاوية لدالة جيب التمام.

$\cos (2 \cdot 22.5 °)$

خطوة 2

اضرب $2$ في $22.5 °$ .

$\cos (45)$

خطوة 3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (45)$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة $45$ في صورة ناتج قسمة زاوية تُعرف بها قيم الدوال المثلثية الست على $2$ .

$\cos (\frac{90}{2})$

خطوة 3.2

طبّق متطابقة نصف الزاوية لدالة جيب التمام $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (90)}{2}}$

خطوة 3.3

غيِّر $\pm$ إلى $+$ نظرًا إلى أن دالة جيب التمام موجبة في الربع الأول.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (90)}{2}}$

خطوة 3.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (90)$ هي $0$ .

$\sqrt{\frac{1 + 0}{2}}$

خطوة 3.5

بسّط $\sqrt{\frac{1 + 0}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$\sqrt{\frac{1}{2}}$

خطوة 3.5.2

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

خطوة 3.5.3

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

خطوة 3.5.4

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

خطوة 3.5.5

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.5.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 3.5.5.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

خطوة 3.5.5.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

خطوة 3.5.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 3.5.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 3.5.5.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.5.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3.5.5.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 3.5.5.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.5.5.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.5.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.5.5.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

خطوة 3.5.5.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 4

هذه هي الصيغة المثلثية للعدد المركب وبها $| z |$ يمثل المقياس و $θ$ يمثل الزاوية الناشئة في المستوى العقدي.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

خطوة 5

مقياس العدد المركب يمثل طول المسافة بين العدد المركب ونقطة الأصل في المستوى المركب.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ حيث $z = a + b i$

خطوة 6

عوّض بالقيمتين الفعليتين لـ $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ و $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

خطوة 7

أوجِد $| z |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

خطوة 7.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

خطوة 7.2

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

خطوة 7.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

خطوة 7.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

خطوة 7.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

خطوة 7.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2}{2^{2}}}$

خطوة 7.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2}{2^{2}}}$

خطوة 7.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2}{4}}$

خطوة 7.4

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2 (1)}{4}}$

خطوة 7.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

خطوة 7.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

خطوة 7.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1}{2}}$

خطوة 7.5

أضف $0$ و $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2}}$

خطوة 7.6

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

خطوة 7.7

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}}$

خطوة 7.8

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

خطوة 7.9

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.9.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 7.9.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 7.9.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 7.9.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 7.9.5

أضف $1$ و $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 7.9.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.9.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 7.9.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 7.9.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 7.9.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.9.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 7.9.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 7.9.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 8

زاوية النقطة على المستوى العقدي هي المماس العكسي لجزء العدد المركب على الجزء الحقيقي.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

خطوة 9

بما أن المماس المعكوس لـ $\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ ينتج زاوية في الربع الأول، إذن قيمة الزاوية تساوي $0$ .

$θ = 0$

خطوة 10

عوّض بقيمتَي $θ = 0$ و $| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 (\cos (0) + i \sin (0))}$