ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$(\frac{3}{5} (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

خطوة 1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{3})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{5} (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

خطوة 1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3}{5} (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

خطوة 1.3

اجمع $i$ و $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3}{5} (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

خطوة 2

طبّق خاصية التوزيع.

$(\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

خطوة 3

اضرب $\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $\frac{3}{5}$ في $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{3}{5 \cdot 2} + \frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

خطوة 3.2

اضرب $5$ في $2$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

خطوة 4

اضرب $\frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $\frac{3}{5}$ في $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 (i \sqrt{3})}{5 \cdot 2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

خطوة 4.2

اضرب $5$ في $2$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 (i \sqrt{3})}{10}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

خطوة 5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

احسِب قيمة $\cos (\frac{3 π}{5})$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 (- 0.30901699 + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

خطوة 5.1.2

احسِب قيمة $\sin (\frac{3 π}{5})$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 (- 0.30901699 + i \cdot 0.95105651))$

خطوة 5.1.3

انقُل $0.95105651$ إلى يسار $i$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 (- 0.30901699 + 0.95105651 i))$

خطوة 5.2

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 \cdot - 0.30901699 + 5 (0.95105651 i))$

خطوة 5.2.2

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اضرب $5$ في $- 0.30901699$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (- 1.54508497 + 5 (0.95105651 i))$

خطوة 5.2.2.2

اضرب $0.95105651$ في $5$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$

خطوة 6

وسّع $(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3}{10} (- 1.54508497 + 4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$

خطوة 6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

خطوة 7

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اضرب $\frac{3}{10} \cdot - 1.54508497$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1

اجمع $\frac{3}{10}$ و $- 1.54508497$ .

$\frac{3 \cdot - 1.54508497}{10} + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

خطوة 7.1.1.2

اضرب $3$ في $- 1.54508497$ .

$\frac{- 4.63525491}{10} + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

خطوة 7.1.2

اقسِم $- 4.63525491$ على $10$ .

$- 0.46352549 + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

خطوة 7.1.3

اضرب $\frac{3}{10} (4.75528258 i)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.1

اجمع $4.75528258$ و $\frac{3}{10}$ .

$- 0.46352549 + \frac{4.75528258 \cdot 3}{10} i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

خطوة 7.1.3.2

اضرب $4.75528258$ في $3$ .

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774}{10} i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

خطوة 7.1.3.3

اجمع $\frac{14.26584774}{10}$ و $i$ .

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774 i}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

خطوة 7.1.4

أخرِج العامل $14.26584774$ من $14.26584774 i$ .

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774 (i)}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

خطوة 7.1.5

أخرِج العامل $10$ من $10$ .

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774 (i)}{10 (1)} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

خطوة 7.1.6

افصِل الكسور.

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774}{10} \cdot \frac{i}{1} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

خطوة 7.1.7

اقسِم $14.26584774$ على $10$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 \frac{i}{1} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

خطوة 7.1.8

اقسِم $i$ على $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

خطوة 7.1.9

اضرب $\frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.9.1

اجمع $\frac{3 i \sqrt{3}}{10}$ و $- 1.54508497$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{3 i \sqrt{3} \cdot - 1.54508497}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

خطوة 7.1.9.2

اضرب $- 1.54508497$ في $3$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{- 4.63525491 i \sqrt{3}}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

خطوة 7.1.9.3

اضرب $\sqrt{3}$ في $- 4.63525491$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{- 8.02849701 i}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

خطوة 7.1.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - \frac{(8.02849701) i}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

خطوة 7.1.11

أخرِج العامل $8.02849701$ من $8.02849701 i$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - \frac{8.02849701 (i)}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

خطوة 7.1.12

أخرِج العامل $10$ من $10$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - \frac{8.02849701 (i)}{10 (1)} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

خطوة 7.1.13

افصِل الكسور.

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - (\frac{8.02849701}{10} \cdot \frac{i}{1}) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

خطوة 7.1.14

اقسِم $8.02849701$ على $10$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - (0.8028497 \frac{i}{1}) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

خطوة 7.1.15

اقسِم $i$ على $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - (0.8028497 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

خطوة 7.1.16

اضرب $0.8028497$ في $- 1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

خطوة 7.1.17

اضرب $\frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.17.1

اجمع $4.75528258$ و $\frac{3 i \sqrt{3}}{10}$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{4.75528258 (3 i \sqrt{3})}{10} i$

خطوة 7.1.17.2

اضرب $3$ في $4.75528258$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{14.26584774 (i \sqrt{3})}{10} i$

خطوة 7.1.17.3

اضرب $\sqrt{3}$ في $14.26584774$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i}{10} i$

خطوة 7.1.17.4

اجمع $\frac{24.7091731 i}{10}$ و $i$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i i}{10}$

خطوة 7.1.17.5

ارفع $i$ إلى القوة $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 (i^{1} i)}{10}$

خطوة 7.1.17.6

ارفع $i$ إلى القوة $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 (i^{1} i^{1})}{10}$

خطوة 7.1.17.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i^{1 + 1}}{10}$

خطوة 7.1.17.8

أضف $1$ و $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i^{2}}{10}$

خطوة 7.1.18

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 \cdot - 1}{10}$

خطوة 7.1.19

اضرب $24.7091731$ في $- 1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{- 24.7091731}{10}$

خطوة 7.1.20

اقسِم $- 24.7091731$ على $10$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i - 2.47091731$

خطوة 7.2

اطرح $2.47091731$ من $- 0.46352549$ .

$- 2.9344428 + 1.42658477 i - 0.8028497 i$

خطوة 7.3

اطرح $0.8028497 i$ من $1.42658477 i$ .

$- 2.9344428 + 0.62373507 i$

خطوة 8

هذه هي الصيغة المثلثية للعدد المركب وبها $| z |$ يمثل المقياس و $θ$ يمثل الزاوية الناشئة في المستوى العقدي.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

خطوة 9

مقياس العدد المركب يمثل طول المسافة بين العدد المركب ونقطة الأصل في المستوى المركب.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ حيث $z = a + b i$

خطوة 10

عوّض بالقيمتين الفعليتين لـ $a = - 2.9344428$ و $b = 0.62373507$ .

$| z | = \sqrt{{0.62373507}^{2} + {(- 2.9344428)}^{2}}$

خطوة 11

أوجِد $| z |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

ارفع $0.62373507$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{0.38904544 + {(- 2.9344428)}^{2}}$

خطوة 11.2

ارفع $- 2.9344428$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{0.38904544 + 8.61095455}$

خطوة 11.3

أضف $0.38904544$ و $8.61095455$ .

$| z | = \sqrt{9}$

خطوة 11.4

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$| z | = \sqrt{3^{2}}$

خطوة 11.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$| z | = 3$

خطوة 12

زاوية النقطة على المستوى العقدي هي المماس العكسي لجزء العدد المركب على الجزء الحقيقي.

$θ = \arctan (\frac{0.62373507}{- 2.9344428})$

خطوة 13

بما أن المماس المعكوس لـ $\frac{0.62373507}{- 2.9344428}$ ينتج زاوية في الربع الثاني، إذن قيمة الزاوية تساوي $2.93215314$ .

$θ = 2.93215314$

خطوة 14

عوّض بقيمتَي $θ = 2.93215314$ و $| z | = 3$ .

$3 (\cos (2.93215314) + i \sin (2.93215314))$