ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{6 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

خطوة 1

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $3$ من $6 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))$ .

$\frac{3 (2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

خطوة 1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{\cos (2 π) + i \sin (2 π)}$

خطوة 2

اضرب بسط وقاسم $\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{10 i}$ في مرافق $10 i$ لجعل القاسم عددًا حقيقيًا.

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{10 i} \cdot \frac{1 + 0 i}{1 + 0 i}$

خطوة 3

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع.

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

خطوة 3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\frac{2 (\cos (π) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

خطوة 3.2.1.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$\frac{2 (- \cos (0) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

خطوة 3.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot 1 + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

خطوة 3.2.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 (- 1 + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

خطوة 3.2.1.5

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\frac{2 (- 1 + i \sin (π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

خطوة 3.2.1.6

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$\frac{2 (- 1 + i \sin (0)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

خطوة 3.2.1.7

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{2 (- 1 + i \cdot 0) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

خطوة 3.2.1.8

اضرب $i$ في $0$ .

$\frac{2 (- 1 + 0) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

خطوة 3.2.2

أضف $- 1$ و $0$ .

$\frac{2 \cdot - 1 (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

خطوة 3.2.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- 2 (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

خطوة 3.2.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 2 \cdot 1 - 2 (0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

خطوة 3.2.5

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{- 2 - 2 (0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

خطوة 3.2.6

اضرب $0$ في $- 2$ .

$\frac{- 20 i}{(10 i) (1 + 0 i)}$

خطوة 3.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

وسّع $(10 i) (1 + 0 i)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 20 i}{1 (1 + 0 i) 0 i (1 + 0 i)}$

خطوة 3.3.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 20 i}{1 \cdot 1 + 1 (0 i) 0 i (1 + 0 i)}$

خطوة 3.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 20 i}{1 \cdot 1 + 1 (0 i) 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

خطوة 3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اضرب $1$ في $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 1 (0 i) 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

خطوة 3.3.2.2

اضرب $0$ في $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

خطوة 3.3.2.3

اضرب $0$ في $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i 0 i (0 i)}$

خطوة 3.3.2.4

اضرب $0$ في $0$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i i}$

خطوة 3.3.2.5

ارفع $i$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 (i^{1} i)}$

خطوة 3.3.2.6

ارفع $i$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 (i^{1} i^{1})}$

خطوة 3.3.2.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i^{1 + 1}}$

خطوة 3.3.2.8

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i^{2}}$

خطوة 3.3.2.9

اضرب $0$ في $i^{2}$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0}$

خطوة 3.3.2.10

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i}$

خطوة 3.3.2.11

اطرح $0 i$ من $0 i$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i}$

خطوة 3.3.3

اضرب $0$ في $i$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0}$

خطوة 3.3.4

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{- 20 i}{1}$

خطوة 4

اقسِم $- 20 i$ على $1$ .

$- 20 i$

خطوة 5

هذه هي الصيغة المثلثية للعدد المركب وبها $| z |$ يمثل المقياس و $θ$ يمثل الزاوية الناشئة في المستوى العقدي.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

خطوة 6

مقياس العدد المركب يمثل طول المسافة بين العدد المركب ونقطة الأصل في المستوى المركب.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ حيث $z = a + b i$

خطوة 7

عوّض بالقيمتين الفعليتين لـ $a = - 2$ و $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{{(0)}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

خطوة 8

أوجِد $| z |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

ارفع $0$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 2)}^{2}}$

خطوة 8.2

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 4}$

خطوة 8.3

أضف $0$ و $4$ .

$| z | = \sqrt{4}$

خطوة 8.4

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

خطوة 8.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$| z | = 2$

خطوة 9

زاوية النقطة على المستوى العقدي هي المماس العكسي لجزء العدد المركب على الجزء الحقيقي.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 2})$

خطوة 10

بما أن دالة المماس العكسية لـ $\frac{0}{- 2}$ ينتج عنها وجود زاوية في الربع الثالث، إذن قيمة الزاوية تساوي $3.14159265$ .

$θ = 3.14159265$

خطوة 11

عوّض بقيمتَي $θ = 3.14159265$ و $| z | = 2$ .

$2 (\cos (3.14159265) + i \sin (3.14159265))$