ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$z^{4} = 81 i$

خطوة 1

عوّض بقيمة $z^{4}$ التي تساوي $u$ .

$u^{4} = 81 i$

خطوة 2

هذه هي الصيغة المثلثية للعدد المركب وبها $| z |$ يمثل المقياس و $θ$ يمثل الزاوية الناشئة في المستوى العقدي.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

خطوة 3

مقياس العدد المركب يمثل طول المسافة بين العدد المركب ونقطة الأصل في المستوى المركب.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ حيث $z = a + b i$

خطوة 4

عوّض بالقيمتين الفعليتين لـ $a = 0$ و $b = 81$ .

$| z | = \sqrt{81^{2}}$

خطوة 5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$| z | = 81$

خطوة 6

زاوية النقطة على المستوى العقدي هي المماس العكسي لجزء العدد المركب على الجزء الحقيقي.

$θ = \arctan (\frac{81}{0})$

خطوة 7

بما أن المتغير المستقل غير معرّف و $b$ موجبة، إذن زاوية النقطة في المستوى العقدي هي $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

خطوة 8

عوّض بقيمتَي $θ = \frac{π}{2}$ و $| z | = 81$ .

$81 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

خطوة 9

استبدِل المتعادل الأيمن بالصيغة المثلثية.

$u^{4} = 81 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

خطوة 10

استخدِم مبرهنة دي موافر لإيجاد معادلة $u$ .

$r^{4} (c o s (4 θ) + i s i n (4 θ)) = 81 i = 81 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

خطوة 11

قم بمساواة معامل الصيغة المثلثية ليعادل $r^{4}$ لإيجاد قيمة $r$ .

$r^{4} = 81$

خطوة 12

أوجِد قيمة $r$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt[4]{81}$

خطوة 12.2

بسّط $\pm \sqrt[4]{81}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

أعِد كتابة $81$ بالصيغة $3^{4}$ .

$r = \pm \sqrt[4]{3^{4}}$

خطوة 12.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$r = \pm 3$

خطوة 12.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$r = 3$

خطوة 12.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$r = - 3$

خطوة 12.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$r = 3, - 3$

خطوة 13

أوجِد القيمة التقريبية لـ $r$ .

$r = 3$

خطوة 14

أوجِد القيم الممكنة لـ $θ$ .

$c o s (4 θ) = c o s (\frac{π}{2} + 2 π n)$ و $s i n (4 θ) = s i n (\frac{π}{2} + 2 π n)$

خطوة 15

يؤدي إيجاد جميع القيم الممكنة لـ $θ$ إلى المعادلة $4 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$

خطوة 16

أوجِد قيمة $θ$ لـ $r = 0$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (0)$

خطوة 17

أوجِد قيمة $θ$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1.1

اضرب $2 π (0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1.1.1

اضرب $0$ في $2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 0 π$

خطوة 17.1.1.2

اضرب $0$ في $π$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 0$

خطوة 17.1.2

أضف $\frac{π}{2}$ و $0$ .

$4 θ = \frac{π}{2}$

خطوة 17.2

اقسِم كل حد في $4 θ = \frac{π}{2}$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1

اقسِم كل حد في $4 θ = \frac{π}{2}$ على $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

خطوة 17.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

خطوة 17.2.2.1.2

اقسِم $θ$ على $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

خطوة 17.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

خطوة 17.2.3.2

اضرب $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.3.2.1

اضرب $\frac{π}{2}$ في $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{π}{2 \cdot 4}$

خطوة 17.2.3.2.2

اضرب $2$ في $4$ .

$θ = \frac{π}{8}$

خطوة 18

استخدِم قيمتَي $θ$ و $r$ لإيجاد حل المعادلة $u^{4} = 81 i$ .

$u_{0} = 3 (\cos (\frac{π}{8}) + i \sin (\frac{π}{8}))$

خطوة 19

حوّل الحل إلى الشكل المستطيل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{8})$ هي $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1.1.1

أعِد كتابة $\frac{π}{8}$ في صورة ناتج قسمة زاوية تُعرف بها قيم الدوال المثلثية الست على $2$ .

$u_{0} = 3 (\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{π}{8}))$

خطوة 19.1.1.2

طبّق متطابقة نصف الزاوية لدالة جيب التمام $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$u_{0} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

خطوة 19.1.1.3

غيِّر $\pm$ إلى $+$ نظرًا إلى أن دالة جيب التمام موجبة في الربع الأول.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

خطوة 19.1.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

خطوة 19.1.1.5

بسّط $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1.1.5.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

خطوة 19.1.1.5.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

خطوة 19.1.1.5.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

خطوة 19.1.1.5.4

اضرب $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1.1.5.4.1

اضرب $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

خطوة 19.1.1.5.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

خطوة 19.1.1.5.5

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

خطوة 19.1.1.5.6

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1.1.5.6.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

خطوة 19.1.1.5.6.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{π}{8}))$

خطوة 19.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{8})$ هي $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1.2.1

أعِد كتابة $\frac{π}{8}$ في صورة ناتج قسمة زاوية تُعرف بها قيم الدوال المثلثية الست على $2$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2}))$

خطوة 19.1.2.2

طبّق متطابقة نصف الزاوية لدالة الجيب.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

خطوة 19.1.2.3

غيِّر $\pm$ إلى $+$ نظرًا إلى أن دالة الجيب موجبة في الربع الأول.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

خطوة 19.1.2.4

بسّط $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

خطوة 19.1.2.4.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

خطوة 19.1.2.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}})$

خطوة 19.1.2.4.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

خطوة 19.1.2.4.5

اضرب $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1.2.4.5.1

اضرب $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

خطوة 19.1.2.4.5.2

اضرب $2$ في $2$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}})$

خطوة 19.1.2.4.6

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

خطوة 19.1.2.4.7

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1.2.4.7.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

خطوة 19.1.2.4.7.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}))$

خطوة 19.1.3

اجمع $i$ و $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

خطوة 19.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

خطوة 19.2.2

اجمع $3$ و $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{0} = \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

خطوة 20

استبدِل $u$ بـ $z^{4}$ لحساب قيمة $z$ بعد الإزاحة إلى اليمين.

$z_{0} = 0 + \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

خطوة 21

أوجِد قيمة $θ$ لـ $r = 1$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (1)$

خطوة 22

أوجِد قيمة $θ$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1.1

اضرب $2$ في $1$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π$

خطوة 22.1.2

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 22.1.3

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

خطوة 22.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 θ = \frac{π + 2 π \cdot 2}{2}$

خطوة 22.1.5

اضرب $2$ في $2$ .

$4 θ = \frac{π + 4 π}{2}$

خطوة 22.1.6

أضف $π$ و $4 π$ .

$4 θ = \frac{5 π}{2}$

خطوة 22.2

اقسِم كل حد في $4 θ = \frac{5 π}{2}$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.2.1

اقسِم كل حد في $4 θ = \frac{5 π}{2}$ على $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

خطوة 22.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

خطوة 22.2.2.1.2

اقسِم $θ$ على $1$ .

$θ = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

خطوة 22.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.2.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$θ = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

خطوة 22.2.3.2

اضرب $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.2.3.2.1

اضرب $\frac{5 π}{2}$ في $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{5 π}{2 \cdot 4}$

خطوة 22.2.3.2.2

اضرب $2$ في $4$ .

$θ = \frac{5 π}{8}$

خطوة 23

استخدِم قيمتَي $θ$ و $r$ لإيجاد حل المعادلة $u^{4} = 81 i$ .

$u_{1} = 3 (\cos (\frac{5 π}{8}) + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

خطوة 24

حوّل الحل إلى الشكل المستطيل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{5 π}{8})$ هي $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.1.1.1

أعِد كتابة $\frac{5 π}{8}$ في صورة ناتج قسمة زاوية تُعرف بها قيم الدوال المثلثية الست على $2$ .

$u_{1} = 3 (\cos (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

خطوة 24.1.1.2

طبّق متطابقة نصف الزاوية لدالة جيب التمام $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$u_{1} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

خطوة 24.1.1.3

غيِّر $\pm$ إلى $-$ نظرًا إلى أن دالة جيب التمام سالبة في الربع الثاني.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

خطوة 24.1.1.4

بسّط $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.1.1.4.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثالث.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

خطوة 24.1.1.4.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

خطوة 24.1.1.4.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

خطوة 24.1.1.4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

خطوة 24.1.1.4.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

خطوة 24.1.1.4.6

اضرب $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.1.1.4.6.1

اضرب $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

خطوة 24.1.1.4.6.2

اضرب $2$ في $2$ .

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

خطوة 24.1.1.4.7

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

خطوة 24.1.1.4.8

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.1.1.4.8.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

خطوة 24.1.1.4.8.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

خطوة 24.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{5 π}{8})$ هي $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.1.2.1

أعِد كتابة $\frac{5 π}{8}$ في صورة ناتج قسمة زاوية تُعرف بها قيم الدوال المثلثية الست على $2$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}))$

خطوة 24.1.2.2

طبّق متطابقة نصف الزاوية لدالة الجيب.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}))$

خطوة 24.1.2.3

غيِّر $\pm$ إلى $+$ نظرًا إلى أن دالة الجيب موجبة في الربع الثاني.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}})$

خطوة 24.1.2.4

بسّط $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.1.2.4.1

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

خطوة 24.1.2.4.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

خطوة 24.1.2.4.3

اضرب $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.1.2.4.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})$

خطوة 24.1.2.4.3.2

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $1$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

خطوة 24.1.2.4.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

خطوة 24.1.2.4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}})$

خطوة 24.1.2.4.6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

خطوة 24.1.2.4.7

اضرب $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.1.2.4.7.1

اضرب $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

خطوة 24.1.2.4.7.2

اضرب $2$ في $2$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}})$

خطوة 24.1.2.4.8

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

خطوة 24.1.2.4.9

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.1.2.4.9.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

خطوة 24.1.2.4.9.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}))$

خطوة 24.1.3

اجمع $i$ و $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + \frac{i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

خطوة 24.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$u_{1} = 3 (\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

خطوة 24.2.2

اجمع $3$ و $\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{1} = \frac{3 (- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

خطوة 24.2.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ .

$u_{1} = \frac{3 (- (\sqrt{2 - \sqrt{2}}) + i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

خطوة 24.2.4

أخرِج العامل $- 1$ من $i \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ .

$u_{1} = \frac{3 (- (\sqrt{2 - \sqrt{2}}) - (- i \sqrt{2 + \sqrt{2}}))}{2}$

خطوة 24.2.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (\sqrt{2 - \sqrt{2}}) - (- i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ .

$u_{1} = \frac{3 (- (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}))}{2}$

خطوة 24.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.2.6.1

أعِد كتابة $- (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ بالصيغة $- 1 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ .

$u_{1} = \frac{3 (- 1 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}))}{2}$

خطوة 24.2.6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$u_{1} = - \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

خطوة 25

استبدِل $u$ بـ $z^{4}$ لحساب قيمة $z$ بعد الإزاحة إلى اليمين.

$z_{1} = 0 - \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

خطوة 26

أوجِد قيمة $θ$ لـ $r = 2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (2)$

خطوة 27

أوجِد قيمة $θ$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 27.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 27.1.1

اضرب $2$ في $2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 4 π$

خطوة 27.1.2

لكتابة $4 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 4 π \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 27.1.3

اجمع $4 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{2}$

خطوة 27.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 θ = \frac{π + 4 π \cdot 2}{2}$

خطوة 27.1.5

اضرب $2$ في $4$ .

$4 θ = \frac{π + 8 π}{2}$

خطوة 27.1.6

أضف $π$ و $8 π$ .

$4 θ = \frac{9 π}{2}$

خطوة 27.2

اقسِم كل حد في $4 θ = \frac{9 π}{2}$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 27.2.1

اقسِم كل حد في $4 θ = \frac{9 π}{2}$ على $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

خطوة 27.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 27.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 27.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

خطوة 27.2.2.1.2

اقسِم $θ$ على $1$ .

$θ = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

خطوة 27.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 27.2.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$θ = \frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

خطوة 27.2.3.2

اضرب $\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 27.2.3.2.1

اضرب $\frac{9 π}{2}$ في $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{9 π}{2 \cdot 4}$

خطوة 27.2.3.2.2

اضرب $2$ في $4$ .

$θ = \frac{9 π}{8}$

خطوة 28

استخدِم قيمتَي $θ$ و $r$ لإيجاد حل المعادلة $u^{4} = 81 i$ .

$u_{2} = 3 (\cos (\frac{9 π}{8}) + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

خطوة 29

حوّل الحل إلى الشكل المستطيل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 29.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 29.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{9 π}{8})$ هي $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 29.1.1.1

أعِد كتابة $\frac{9 π}{8}$ في صورة ناتج قسمة زاوية تُعرف بها قيم الدوال المثلثية الست على $2$ .

$u_{2} = 3 (\cos (\frac{\frac{9 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

خطوة 29.1.1.2

طبّق متطابقة نصف الزاوية لدالة جيب التمام $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$u_{2} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

خطوة 29.1.1.3

غيِّر $\pm$ إلى $-$ نظرًا إلى أن دالة جيب التمام سالبة في الربع الثالث.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

خطوة 29.1.1.4

بسّط $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 29.1.1.4.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

خطوة 29.1.1.4.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

خطوة 29.1.1.4.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

خطوة 29.1.1.4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

خطوة 29.1.1.4.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

خطوة 29.1.1.4.6

اضرب $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 29.1.1.4.6.1

اضرب $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

خطوة 29.1.1.4.6.2

اضرب $2$ في $2$ .

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

خطوة 29.1.1.4.7

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

خطوة 29.1.1.4.8

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 29.1.1.4.8.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

خطوة 29.1.1.4.8.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

خطوة 29.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{9 π}{8})$ هي $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 29.1.2.1

أعِد كتابة $\frac{9 π}{8}$ في صورة ناتج قسمة زاوية تُعرف بها قيم الدوال المثلثية الست على $2$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{9 π}{4}}{2}))$

خطوة 29.1.2.2

طبّق متطابقة نصف الزاوية لدالة الجيب.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}))$

خطوة 29.1.2.3

غيِّر $\pm$ إلى $-$ نظرًا إلى أن دالة الجيب سالبة في الربع الثالث.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}))$

خطوة 29.1.2.4

بسّط $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 29.1.2.4.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

خطوة 29.1.2.4.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

خطوة 29.1.2.4.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

خطوة 29.1.2.4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}))$

خطوة 29.1.2.4.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}))$

خطوة 29.1.2.4.6

اضرب $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 29.1.2.4.6.1

اضرب $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}))$

خطوة 29.1.2.4.6.2

اضرب $2$ في $2$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}))$

خطوة 29.1.2.4.7

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

خطوة 29.1.2.4.8

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 29.1.2.4.8.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

خطوة 29.1.2.4.8.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}))$

خطوة 29.1.3

اجمع $i$ و $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \frac{i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

خطوة 29.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 29.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$u_{2} = 3 (\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

خطوة 29.2.2

اجمع $3$ و $\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{2} = \frac{3 (- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

خطوة 29.2.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ .

$u_{2} = \frac{3 (- (\sqrt{2 + \sqrt{2}}) - i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

خطوة 29.2.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- i \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ .

$u_{2} = \frac{3 (- (\sqrt{2 + \sqrt{2}}) - (i \sqrt{2 - \sqrt{2}}))}{2}$

خطوة 29.2.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (\sqrt{2 + \sqrt{2}}) - (i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ .

$u_{2} = \frac{3 (- (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}))}{2}$

خطوة 29.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 29.2.6.1

أعِد كتابة $- (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ بالصيغة $- 1 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ .

$u_{2} = \frac{3 (- 1 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}))}{2}$

خطوة 29.2.6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$u_{2} = - \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

خطوة 30

استبدِل $u$ بـ $z^{4}$ لحساب قيمة $z$ بعد الإزاحة إلى اليمين.

$z_{2} = 0 - \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

خطوة 31

أوجِد قيمة $θ$ لـ $r = 3$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (3)$

خطوة 32

أوجِد قيمة $θ$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 32.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 32.1.1

اضرب $3$ في $2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 6 π$

خطوة 32.1.2

لكتابة $6 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 6 π \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 32.1.3

اجمع $6 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{6 π \cdot 2}{2}$

خطوة 32.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 θ = \frac{π + 6 π \cdot 2}{2}$

خطوة 32.1.5

اضرب $2$ في $6$ .

$4 θ = \frac{π + 12 π}{2}$

خطوة 32.1.6

أضف $π$ و $12 π$ .

$4 θ = \frac{13 π}{2}$

خطوة 32.2

اقسِم كل حد في $4 θ = \frac{13 π}{2}$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 32.2.1

اقسِم كل حد في $4 θ = \frac{13 π}{2}$ على $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

خطوة 32.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 32.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 32.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

خطوة 32.2.2.1.2

اقسِم $θ$ على $1$ .

$θ = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

خطوة 32.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 32.2.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$θ = \frac{13 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

خطوة 32.2.3.2

اضرب $\frac{13 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 32.2.3.2.1

اضرب $\frac{13 π}{2}$ في $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{13 π}{2 \cdot 4}$

خطوة 32.2.3.2.2

اضرب $2$ في $4$ .

$θ = \frac{13 π}{8}$

خطوة 33

استخدِم قيمتَي $θ$ و $r$ لإيجاد حل المعادلة $u^{4} = 81 i$ .

$u_{3} = 3 (\cos (\frac{13 π}{8}) + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

خطوة 34

حوّل الحل إلى الشكل المستطيل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 34.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 34.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{13 π}{8})$ هي $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 34.1.1.1

أعِد كتابة $\frac{13 π}{8}$ في صورة ناتج قسمة زاوية تُعرف بها قيم الدوال المثلثية الست على $2$ .

$u_{3} = 3 (\cos (\frac{\frac{13 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

خطوة 34.1.1.2

طبّق متطابقة نصف الزاوية لدالة جيب التمام $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$u_{3} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

خطوة 34.1.1.3

غيِّر $\pm$ إلى $+$ نظرًا إلى أن دالة جيب التمام موجبة في الربع الرابع.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

خطوة 34.1.1.4

بسّط $\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 34.1.1.4.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

خطوة 34.1.1.4.2

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

خطوة 34.1.1.4.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

خطوة 34.1.1.4.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

خطوة 34.1.1.4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

خطوة 34.1.1.4.6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

خطوة 34.1.1.4.7

اضرب $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 34.1.1.4.7.1

اضرب $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

خطوة 34.1.1.4.7.2

اضرب $2$ في $2$ .

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

خطوة 34.1.1.4.8

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

خطوة 34.1.1.4.9

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 34.1.1.4.9.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

خطوة 34.1.1.4.9.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

خطوة 34.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{13 π}{8})$ هي $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 34.1.2.1

أعِد كتابة $\frac{13 π}{8}$ في صورة ناتج قسمة زاوية تُعرف بها قيم الدوال المثلثية الست على $2$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{13 π}{4}}{2}))$

خطوة 34.1.2.2

طبّق متطابقة نصف الزاوية لدالة الجيب.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}))$

خطوة 34.1.2.3

غيِّر $\pm$ إلى $-$ نظرًا إلى أن دالة الجيب سالبة في الربع الرابع.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}))$

خطوة 34.1.2.4

بسّط $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 34.1.2.4.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}))$

خطوة 34.1.2.4.2

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

خطوة 34.1.2.4.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

خطوة 34.1.2.4.4

اضرب $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 34.1.2.4.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}}))$

خطوة 34.1.2.4.4.2

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $1$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

خطوة 34.1.2.4.5

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

خطوة 34.1.2.4.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}))$

خطوة 34.1.2.4.7

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}))$

خطوة 34.1.2.4.8

اضرب $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 34.1.2.4.8.1

اضرب $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}))$

خطوة 34.1.2.4.8.2

اضرب $2$ في $2$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}))$

خطوة 34.1.2.4.9

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

خطوة 34.1.2.4.10

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 34.1.2.4.10.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

خطوة 34.1.2.4.10.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}))$

خطوة 34.1.3

اجمع $i$ و $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} - \frac{i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

خطوة 34.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 34.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

خطوة 34.2.2

اجمع $3$ و $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{3} = \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

خطوة 35

استبدِل $u$ بـ $z^{4}$ لحساب قيمة $z$ بعد الإزاحة إلى اليمين.

$z_{3} = 0 + \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

خطوة 36

هذه هي الحلول المركبة لـ $u^{4} = 81 i$ .

$z_{0} = \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

$z_{1} = - \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

$z_{2} = - \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

$z_{3} = \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$