ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 x^{3} - 13 x^{2} + 22 x - 8$

خطوة 1

أوجِد نقاط التقاطع مع المحور السيني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لإيجاد نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني، عوّض بـ $0$ عن $y$ وأوجِد قيمة $x$ .

$0 = 2 x^{3} - 13 x^{2} + 22 x - 8$

خطوة 1.2

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 x^{3} - 13 x^{2} + 22 x - 8 = 0$ .

$2 x^{3} - 13 x^{2} + 22 x - 8 = 0$

خطوة 1.2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

حلّل $2 x^{3} - 13 x^{2} + 22 x - 8$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

خطوة 1.2.2.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 8, \pm 4, \pm 2$

خطوة 1.2.2.1.3

عوّض بـ $0.5$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $0.5$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.3.1

عوّض بـ $0.5$ في متعدد الحدود.

$2 \cdot {0.5}^{3} - 13 \cdot {0.5}^{2} + 22 \cdot 0.5 - 8$

خطوة 1.2.2.1.3.2

ارفع $0.5$ إلى القوة $3$ .

$2 \cdot 0.125 - 13 \cdot {0.5}^{2} + 22 \cdot 0.5 - 8$

خطوة 1.2.2.1.3.3

اضرب $2$ في $0.125$ .

$0.25 - 13 \cdot {0.5}^{2} + 22 \cdot 0.5 - 8$

خطوة 1.2.2.1.3.4

ارفع $0.5$ إلى القوة $2$ .

$0.25 - 13 \cdot 0.25 + 22 \cdot 0.5 - 8$

خطوة 1.2.2.1.3.5

اضرب $- 13$ في $0.25$ .

$0.25 - 3.25 + 22 \cdot 0.5 - 8$

خطوة 1.2.2.1.3.6

اطرح $3.25$ من $0.25$ .

$- 3 + 22 \cdot 0.5 - 8$

خطوة 1.2.2.1.3.7

اضرب $22$ في $0.5$ .

$- 3 + 11 - 8$

خطوة 1.2.2.1.3.8

أضف $- 3$ و $11$ .

$8 - 8$

خطوة 1.2.2.1.3.9

اطرح $8$ من $8$ .

$0$

خطوة 1.2.2.1.4

بما أن $0.5$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $2 x - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 22 x - 8}{2 x - 1}$

خطوة 1.2.2.1.5

اقسِم $2 x^{3} - 13 x^{2} + 22 x - 8$ على $2 x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$13 x^{2}$

$22 x$

$8$

خطوة 1.2.2.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $2 x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$22 x$	-	$8$

خطوة 1.2.2.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$22 x$	-	$8$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

خطوة 1.2.2.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $2 x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$22 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

خطوة 1.2.2.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$22 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

خطوة 1.2.2.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$22 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$22 x$

خطوة 1.2.2.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 12 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$22 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$22 x$

خطوة 1.2.2.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$22 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$22 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$6 x$

خطوة 1.2.2.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 12 x^{2} + 6 x$

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$22 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$22 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$

خطوة 1.2.2.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$22 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$22 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$16 x$

خطوة 1.2.2.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$22 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$22 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$16 x$	-	$8$

خطوة 1.2.2.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $16 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$8$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$22 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$22 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$16 x$	-	$8$

خطوة 1.2.2.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$8$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$22 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$22 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$16 x$	-	$8$
							+	$16 x$	-	$8$

خطوة 1.2.2.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $16 x - 8$

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$8$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$22 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$22 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$16 x$	-	$8$
							-	$16 x$	+	$8$

خطوة 1.2.2.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$8$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$22 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$22 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$16 x$	-	$8$
							-	$16 x$	+	$8$
										$0$

خطوة 1.2.2.1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{2} - 6 x + 8$

خطوة 1.2.2.1.6

اكتب $2 x^{3} - 13 x^{2} + 22 x - 8$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(2 x - 1) (x^{2} - 6 x + 8) = 0$

خطوة 1.2.2.2

حلّل $x^{2} - 6 x + 8$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

حلّل $x^{2} - 6 x + 8$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $8$ ومجموعهما $- 6$ .

$- 4, - 2$

خطوة 1.2.2.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(2 x - 1) ((x - 4) (x - 2)) = 0$

خطوة 1.2.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(2 x - 1) (x - 4) (x - 2) = 0$

خطوة 1.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة العبارة $2 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عيّن قيمة $2 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x - 1 = 0$

خطوة 1.2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 x - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 x = 1$

خطوة 1.2.4.2.2

اقسِم كل حد في $2 x = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = 1$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 1.2.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 1.2.4.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 1.2.5.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 1.2.6

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 1.2.6.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 1.2.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(2 x - 1) (x - 4) (x - 2) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{1}{2}, 4, 2$

خطوة 1.3

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني بصيغة النقطة.

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني: $(\frac{1}{2}, 0), (4, 0), (2, 0)$

خطوة 2

أوجِد نقاط التقاطع مع المحور الصادي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لإيجاد نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي، عوّض بـ $0$ عن $x$ وأوجِد قيمة $y$ .

$y = 2 {(0)}^{3} - 13 {(0)}^{2} + 22 (0) - 8$

خطوة 2.2

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 2 \cdot 0^{3} - 13 {(0)}^{2} + 22 (0) - 8$

خطوة 2.2.2

احذِف الأقواس.

$y = 2 \cdot 0^{3} - 13 \cdot 0^{2} + 22 (0) - 8$

خطوة 2.2.3

احذِف الأقواس.

$y = 2 {(0)}^{3} - 13 {(0)}^{2} + 22 (0) - 8$

خطوة 2.2.4

بسّط $2 {(0)}^{3} - 13 {(0)}^{2} + 22 (0) - 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$y = 2 \cdot 0 - 13 {(0)}^{2} + 22 (0) - 8$

خطوة 2.2.4.1.2

اضرب $2$ في $0$ .

$y = 0 - 13 {(0)}^{2} + 22 (0) - 8$

خطوة 2.2.4.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$y = 0 - 13 \cdot 0 + 22 (0) - 8$

خطوة 2.2.4.1.4

اضرب $- 13$ في $0$ .

$y = 0 + 0 + 22 (0) - 8$

خطوة 2.2.4.1.5

اضرب $22$ في $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 8$

خطوة 2.2.4.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$y = 0 + 0 - 8$

خطوة 2.2.4.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$y = 0 - 8$

خطوة 2.2.4.2.3

اطرح $8$ من $0$ .

$y = - 8$

خطوة 2.3

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي بصيغة النقطة.

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي: $(0, - 8)$

خطوة 3

اسرِد التقاطعات.

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني: $(\frac{1}{2}, 0), (4, 0), (2, 0)$

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي: $(0, - 8)$

خطوة 4