ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

${(4 + 4 i)}^{5}$

خطوة 1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$4^{5} + 5 \cdot 4^{4} (4 i) + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $5$ .

$1024 + 5 \cdot 4^{4} (4 i) + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

خطوة 2.1.2

اضرب $4^{4}$ في $4$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

انقُل $4$ .

$1024 + 5 \cdot (4 \cdot 4^{4}) i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

خطوة 2.1.2.2

اضرب $4$ في $4^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

ارفع $4$ إلى القوة $1$ .

$1024 + 5 \cdot (4^{1} \cdot 4^{4}) i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

خطوة 2.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$1024 + 5 \cdot 4^{1 + 4} i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

خطوة 2.1.2.3

أضف $1$ و $4$ .

$1024 + 5 \cdot 4^{5} i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

خطوة 2.1.3

ارفع $4$ إلى القوة $5$ .

$1024 + 5 \cdot 1024 i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

خطوة 2.1.4

اضرب $5$ في $1024$ .

$1024 + 5120 i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

خطوة 2.1.5

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$1024 + 5120 i + 10 \cdot 64 {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

خطوة 2.1.6

اضرب $10$ في $64$ .

$1024 + 5120 i + 640 {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

خطوة 2.1.7

طبّق قاعدة الضرب على $4 i$ .

$1024 + 5120 i + 640 (4^{2} i^{2}) + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

خطوة 2.1.8

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$1024 + 5120 i + 640 (16 i^{2}) + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

خطوة 2.1.9

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$1024 + 5120 i + 640 (16 \cdot - 1) + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

خطوة 2.1.10

اضرب $640 (16 \cdot - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.10.1

اضرب $16$ في $- 1$ .

$1024 + 5120 i + 640 \cdot - 16 + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

خطوة 2.1.10.2

اضرب $640$ في $- 16$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

خطوة 2.1.11

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 10 \cdot 16 {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

خطوة 2.1.12

اضرب $10$ في $16$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

خطوة 2.1.13

طبّق قاعدة الضرب على $4 i$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (4^{3} i^{3}) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

خطوة 2.1.14

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 i^{3}) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

خطوة 2.1.15

أخرِج عامل $i^{2}$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

خطوة 2.1.16

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

خطوة 2.1.17

أعِد كتابة $- 1 i$ بالصيغة $- i$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 (- i)) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

خطوة 2.1.18

اضرب $- 1$ في $64$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (- 64 i) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

خطوة 2.1.19

اضرب $- 64$ في $160$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

خطوة 2.1.20

اضرب $5$ في $4$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

خطوة 2.1.21

طبّق قاعدة الضرب على $4 i$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (4^{4} i^{4}) + {(4 i)}^{5}$

خطوة 2.1.22

ارفع $4$ إلى القوة $4$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 i^{4}) + {(4 i)}^{5}$

خطوة 2.1.23

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.23.1

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة ${(i^{2})}^{2}$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 {(i^{2})}^{2}) + {(4 i)}^{5}$

خطوة 2.1.23.2

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 {(- 1)}^{2}) + {(4 i)}^{5}$

خطوة 2.1.23.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 \cdot 1) + {(4 i)}^{5}$

خطوة 2.1.24

اضرب $20 (256 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.24.1

اضرب $256$ في $1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 \cdot 256 + {(4 i)}^{5}$

خطوة 2.1.24.2

اضرب $20$ في $256$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + {(4 i)}^{5}$

خطوة 2.1.25

طبّق قاعدة الضرب على $4 i$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 4^{5} i^{5}$

خطوة 2.1.26

ارفع $4$ إلى القوة $5$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 i^{5}$

خطوة 2.1.27

أخرِج عامل $i^{4}$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 (i^{4} i)$

خطوة 2.1.28

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.28.1

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة ${(i^{2})}^{2}$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 ({(i^{2})}^{2} i)$

خطوة 2.1.28.2

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 ({(- 1)}^{2} i)$

خطوة 2.1.28.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 (1 i)$

خطوة 2.1.29

اضرب $i$ في $1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 i$

خطوة 2.2

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اطرح $10240$ من $1024$ .

$- 9216 + 5120 i - 10240 i + 5120 + 1024 i$

خطوة 2.2.2

أضف $- 9216$ و $5120$ .

$- 4096 + 5120 i - 10240 i + 1024 i$

خطوة 2.2.3

اطرح $10240 i$ من $5120 i$ .

$- 4096 - 5120 i + 1024 i$

خطوة 2.2.4

أضف $- 5120 i$ و $1024 i$ .

$- 4096 - 4096 i$

خطوة 3

هذه هي الصيغة المثلثية للعدد المركب وبها $| z |$ يمثل المقياس و $θ$ يمثل الزاوية الناشئة في المستوى العقدي.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

خطوة 4

مقياس العدد المركب يمثل طول المسافة بين العدد المركب ونقطة الأصل في المستوى المركب.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ حيث $z = a + b i$

خطوة 5

عوّض بالقيمتين الفعليتين لـ $a = - 4096$ و $b = - 4096$ .

$| z | = \sqrt{{(- 4096)}^{2} + {(- 4096)}^{2}}$

خطوة 6

أوجِد $| z |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ارفع $- 4096$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{16777216 + {(- 4096)}^{2}}$

خطوة 6.2

ارفع $- 4096$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{16777216 + 16777216}$

خطوة 6.3

أضف $16777216$ و $16777216$ .

$| z | = \sqrt{33554432}$

خطوة 6.4

أعِد كتابة $33554432$ بالصيغة $4096^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أخرِج العامل $16777216$ من $33554432$ .

$| z | = \sqrt{16777216 (2)}$

خطوة 6.4.2

أعِد كتابة $16777216$ بالصيغة $4096^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4096^{2} \cdot 2}$

خطوة 6.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| z | = 4096 \sqrt{2}$

خطوة 7

زاوية النقطة على المستوى العقدي هي المماس العكسي لجزء العدد المركب على الجزء الحقيقي.

$θ = \arctan (\frac{- 4096}{- 4096})$

خطوة 8

بما أن دالة المماس العكسية لـ $\frac{- 4096}{- 4096}$ ينتج عنها وجود زاوية في الربع الثالث، إذن قيمة الزاوية تساوي $\frac{5 π}{4}$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

خطوة 9

عوّض بقيمتَي $θ = \frac{5 π}{4}$ و $| z | = 4096 \sqrt{2}$ .

$4096 \sqrt{2} (\cos (\frac{5 π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{4}))$