ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$16 x^{2} + 80 x + 16 y^{2} - 112 y + 247 = 0$

خطوة 1

اطرح $247$ من كلا المتعادلين.

$16 x^{2} + 80 x + 16 y^{2} - 112 y = - 247$

خطوة 2

اقسِم كلا المتعادلين على $16$ .

$x^{2} + 5 x + y^{2} - 7 y = - \frac{247}{16}$

خطوة 3

أكمل المربع لـ $x^{2} + 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 1$

$b = 5$

$c = 0$

خطوة 3.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{5}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$d = \frac{5}{2}$

خطوة 3.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{5^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

خطوة 3.4.2.1.2

اضرب $4$ في $1$ .

$e = 0 - \frac{25}{4}$

خطوة 3.4.2.2

اطرح $\frac{25}{4}$ من $0$ .

$e = - \frac{25}{4}$

خطوة 3.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس ${(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

خطوة 4

استبدِل $x^{2} + 5 x$ بـ ${(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ في المعادلة $x^{2} + 5 x + y^{2} - 7 y = - \frac{247}{16}$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4} + y^{2} - 7 y = - \frac{247}{16}$

خطوة 5

انقُل $- \frac{25}{4}$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $\frac{25}{4}$ إلى كلا الطرفين.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + y^{2} - 7 y = - \frac{247}{16} + \frac{25}{4}$

خطوة 6

أكمل المربع لـ $y^{2} - 7 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 1$

$b = - 7$

$c = 0$

خطوة 6.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 7}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

اضرب $2$ في $1$ .

$d = \frac{- 7}{2}$

خطوة 6.3.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$d = - \frac{7}{2}$

خطوة 6.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 7)}^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 6.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1

ارفع $- 7$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{49}{4 \cdot 1}$

خطوة 6.4.2.1.2

اضرب $4$ في $1$ .

$e = 0 - \frac{49}{4}$

خطوة 6.4.2.2

اطرح $\frac{49}{4}$ من $0$ .

$e = - \frac{49}{4}$

خطوة 6.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس ${(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4}$ .

${(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4}$

خطوة 7

استبدِل $y^{2} - 7 y$ بـ ${(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4}$ في المعادلة $x^{2} + 5 x + y^{2} - 7 y = - \frac{247}{16}$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4} = - \frac{247}{16} + \frac{25}{4}$

خطوة 8

انقُل $- \frac{49}{4}$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $\frac{49}{4}$ إلى كلا الطرفين.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{25}{4} + \frac{49}{4}$

خطوة 9

بسّط $- \frac{247}{16} + \frac{25}{4} + \frac{49}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 247}{16} + \frac{25 + 49}{4}$

خطوة 9.1.2

أضف $25$ و $49$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 247}{16} + \frac{74}{4}$

خطوة 9.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{74}{4}$

خطوة 9.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $74$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $74$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{2 (37)}{4}$

خطوة 9.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{2 \cdot 37}{2 \cdot 2}$

خطوة 9.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{2 \cdot 37}{2 \cdot 2}$

خطوة 9.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{37}{2}$

خطوة 9.3

لكتابة $\frac{37}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{8}{8}$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{37}{2} \cdot \frac{8}{8}$

خطوة 9.4

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $16$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.1

اضرب $\frac{37}{2}$ في $\frac{8}{8}$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{37 \cdot 8}{2 \cdot 8}$

خطوة 9.4.2

اضرب $2$ في $8$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{37 \cdot 8}{16}$

خطوة 9.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 247 + 37 \cdot 8}{16}$

خطوة 9.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.6.1

اضرب $37$ في $8$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 247 + 296}{16}$

خطوة 9.6.2

أضف $- 247$ و $296$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{49}{16}$

خطوة 10

هذه الصيغة هي صيغة الدائرة. استخدِم هذه الصيغة لتحديد مركز الدائرة ونصف قطرها.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

خطوة 11

طابِق القيم الموجودة في هذه الدائرة بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $r$ نصف قطر الدائرة، ويمثل $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل.

$r = \frac{7}{4}$

$h = - \frac{5}{2}$

$k = \frac{7}{2}$

خطوة 12

تم إيجاد مركز الدائرة عند $(h, k)$ .

المركز: $(- \frac{5}{2}, \frac{7}{2})$

خطوة 13

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل الدائرة بيانيًا وتحليلها.

المركز: $(- \frac{5}{2}, \frac{7}{2})$

نصف القطر: $\frac{7}{4}$

خطوة 14