ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$9 x^{2} + 36 x + 9 y^{2} + 72 y + 155 = 0$

خطوة 1

اطرح $155$ من كلا المتعادلين.

$9 x^{2} + 36 x + 9 y^{2} + 72 y = - 155$

خطوة 2

اقسِم كلا المتعادلين على $9$ .

$x^{2} + 4 x + y^{2} + 8 y = - \frac{155}{9}$

خطوة 3

أكمل المربع لـ $x^{2} + 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

خطوة 3.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

خطوة 3.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{2}{1}$

خطوة 3.3.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$d = 2$

خطوة 3.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $4^{2}$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

خطوة 3.4.2.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

خطوة 3.4.2.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

خطوة 3.4.2.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

خطوة 3.4.2.1.1.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

خطوة 3.4.2.1.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$e = 0 - 4$

خطوة 3.4.2.2

اطرح $4$ من $0$ .

$e = - 4$

خطوة 3.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس ${(x + 2)}^{2} - 4$ .

${(x + 2)}^{2} - 4$

خطوة 4

استبدِل $x^{2} + 4 x$ بـ ${(x + 2)}^{2} - 4$ في المعادلة $x^{2} + 4 x + y^{2} + 8 y = - \frac{155}{9}$ .

${(x + 2)}^{2} - 4 + y^{2} + 8 y = - \frac{155}{9}$

خطوة 5

انقُل $- 4$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $4$ إلى كلا الطرفين.

${(x + 2)}^{2} + y^{2} + 8 y = - \frac{155}{9} + 4$

خطوة 6

أكمل المربع لـ $y^{2} + 8 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 1$

$b = 8$

$c = 0$

خطوة 6.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

خطوة 6.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{4}{1}$

خطوة 6.3.2.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$d = 4$

خطوة 6.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 6.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

خطوة 6.4.2.1.2

اضرب $4$ في $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

خطوة 6.4.2.1.3

اقسِم $64$ على $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

خطوة 6.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $16$ .

$e = 0 - 16$

خطوة 6.4.2.2

اطرح $16$ من $0$ .

$e = - 16$

خطوة 6.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس ${(y + 4)}^{2} - 16$ .

${(y + 4)}^{2} - 16$

خطوة 7

استبدِل $y^{2} + 8 y$ بـ ${(y + 4)}^{2} - 16$ في المعادلة $x^{2} + 4 x + y^{2} + 8 y = - \frac{155}{9}$ .

${(x + 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} - 16 = - \frac{155}{9} + 4$

خطوة 8

انقُل $- 16$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $16$ إلى كلا الطرفين.

${(x + 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = - \frac{155}{9} + 4 + 16$

خطوة 9

بسّط $- \frac{155}{9} + 4 + 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اكتب $4$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

${(x + 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = - \frac{155}{9} + \frac{4}{1} + 16$

خطوة 9.1.2

اضرب $\frac{4}{1}$ في $\frac{9}{9}$ .

${(x + 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = - \frac{155}{9} + \frac{4}{1} \cdot \frac{9}{9} + 16$

خطوة 9.1.3

اضرب $\frac{4}{1}$ في $\frac{9}{9}$ .

${(x + 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = - \frac{155}{9} + \frac{4 \cdot 9}{9} + 16$

خطوة 9.1.4

اكتب $16$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

${(x + 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = - \frac{155}{9} + \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{16}{1}$

خطوة 9.1.5

اضرب $\frac{16}{1}$ في $\frac{9}{9}$ .

${(x + 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = - \frac{155}{9} + \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{16}{1} \cdot \frac{9}{9}$

خطوة 9.1.6

اضرب $\frac{16}{1}$ في $\frac{9}{9}$ .

${(x + 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = - \frac{155}{9} + \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{16 \cdot 9}{9}$

خطوة 9.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

${(x + 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{- 155 + 4 \cdot 9 + 16 \cdot 9}{9}$

خطوة 9.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اضرب $4$ في $9$ .

${(x + 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{- 155 + 36 + 16 \cdot 9}{9}$

خطوة 9.3.2

اضرب $16$ في $9$ .

${(x + 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{- 155 + 36 + 144}{9}$

خطوة 9.4

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.1

أضف $- 155$ و $36$ .

${(x + 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{- 119 + 144}{9}$

خطوة 9.4.2

أضف $- 119$ و $144$ .

${(x + 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{25}{9}$

خطوة 10

هذه الصيغة هي صيغة الدائرة. استخدِم هذه الصيغة لتحديد مركز الدائرة ونصف قطرها.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

خطوة 11

طابِق القيم الموجودة في هذه الدائرة بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $r$ نصف قطر الدائرة، ويمثل $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل.

$r = \frac{5}{3}$

$h = - 2$

$k = - 4$

خطوة 12

تم إيجاد مركز الدائرة عند $(h, k)$ .

المركز: $(- 2, - 4)$

خطوة 13

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل الدائرة بيانيًا وتحليلها.

المركز: $(- 2, - 4)$

نصف القطر: $\frac{5}{3}$

خطوة 14