ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (5 x + 1)$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = \ln (5 y + 1)$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\ln (5 y + 1) = x$ .

$\ln (5 y + 1) = x$

خطوة 2.2

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (5 y + 1)} = e^{x}$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $\ln (5 y + 1) = x$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{x} = 5 y + 1$

خطوة 2.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $5 y + 1 = e^{x}$ .

$5 y + 1 = e^{x}$

خطوة 2.4.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$5 y = e^{x} - 1$

خطوة 2.4.3

اقسِم كل حد في $5 y = e^{x} - 1$ على $5$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

اقسِم كل حد في $5 y = e^{x} - 1$ على $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{e^{x}}{5} + \frac{- 1}{5}$

خطوة 2.4.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 y}{5} = \frac{e^{x}}{5} + \frac{- 1}{5}$

خطوة 2.4.3.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{5} + \frac{- 1}{5}$

خطوة 2.4.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}$

خطوة 3

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}$ هي معكوس $f (x) = \ln (5 x + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\ln (5 x + 1))$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = \frac{e^{\ln (5 x + 1)}}{5} - \frac{1}{5}$

خطوة 4.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = \frac{e^{\ln (5 x + 1)} - 1}{5}$

خطوة 4.2.4

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = \frac{5 x + 1 - 1}{5}$

خطوة 4.2.5

جمّع الحدود المتعاكسة في $5 x + 1 - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = \frac{5 x + 0}{5}$

خطوة 4.2.5.2

أضف $5 x$ و $0$ .

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = \frac{5 x}{5}$

خطوة 4.2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = \frac{5 x}{5}$

خطوة 4.2.6.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = x$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (5 (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) + 1)$

خطوة 4.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (5 (\frac{e^{x}}{5}) + 5 (- \frac{1}{5}) + 1)$

خطوة 4.3.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (5 (\frac{e^{x}}{5}) + 5 (- \frac{1}{5}) + 1)$

خطوة 4.3.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (e^{x} + 5 (- \frac{1}{5}) + 1)$

خطوة 4.3.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{5}$ إلى بسط الكسر.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (e^{x} + 5 (\frac{- 1}{5}) + 1)$

خطوة 4.3.3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (e^{x} + 5 (\frac{- 1}{5}) + 1)$

خطوة 4.3.3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (e^{x} - 1 + 1)$

خطوة 4.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $e^{x} - 1 + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (e^{x} + 0)$

خطوة 4.3.4.2

أضف $e^{x}$ و $0$ .

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (e^{x})$

خطوة 4.3.5

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $x$ خارج الأُس.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = x \ln (e)$

خطوة 4.3.6

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = x \cdot 1$

خطوة 4.3.7

اضرب $x$ في $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = x$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}$ هي معكوس $f (x) = \ln (5 x + 1)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}$