ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$x = y^{2} - 4 y$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y^{2} - 4 y = x$ .

$y^{2} - 4 y = x$

خطوة 2

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$y^{2} - 4 y - x = 0$

خطوة 3

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 4

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 4$ و $c = - x$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أخرِج العامل $- 4$ من ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

أخرِج العامل $- 4$ من ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.1.1.2

أخرِج العامل $- 4$ من $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.1.1.3

أخرِج العامل $- 4$ من $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.1.3

أعِد كتابة $- 4 (- 4 - x)$ بالصيغة $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.1.3.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.1.3.3

أضف الأقواس.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.1.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

خطوة 5.3

بسّط $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

خطوة 6

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أخرِج العامل $- 4$ من ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

أخرِج العامل $- 4$ من ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.1.1.2

أخرِج العامل $- 4$ من $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.1.1.3

أخرِج العامل $- 4$ من $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.1.3

أعِد كتابة $- 4 (- 4 - x)$ بالصيغة $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.1.3.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.1.3.3

أضف الأقواس.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.1.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.2

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

خطوة 6.3

بسّط $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

خطوة 6.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

خطوة 7

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أخرِج العامل $- 4$ من ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1

أخرِج العامل $- 4$ من ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.1.1.2

أخرِج العامل $- 4$ من $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.1.1.3

أخرِج العامل $- 4$ من $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.1.3

أعِد كتابة $- 4 (- 4 - x)$ بالصيغة $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.1.3.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.1.3.3

أضف الأقواس.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.1.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.2

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

خطوة 7.3

بسّط $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

خطوة 7.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

خطوة 8

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

خطوة 9

بدّل بين المتغيرات. وأنشئ معادلة لكل عبارة.

$x = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)}, x = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - y)}$

خطوة 10

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x$ .

$2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x$

خطوة 10.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$\sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x - 2$

خطوة 10.3

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{- 1 (- 4 - y)}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

خطوة 10.4

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{- 1 (- 4 - y)}$ في صورة ${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

خطوة 10.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.2.1

بسّط ${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

خطوة 10.4.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

خطوة 10.4.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(- 1 (- 4 - y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

خطوة 10.4.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

${(- 1 \cdot - 4 - 1 (- y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

خطوة 10.4.2.1.3

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

${(4 - 1 (- y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

خطوة 10.4.2.1.4

اضرب $- 1 (- y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.2.1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

${(4 + 1 y)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

خطوة 10.4.2.1.4.2

اضرب $y$ في $1$ .

${(4 + y)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

خطوة 10.4.2.1.5

بسّط.

$4 + y = {(x - 2)}^{2}$

خطوة 10.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.3.1

بسّط ${(x - 2)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.3.1.1

أعِد كتابة ${(x - 2)}^{2}$ بالصيغة $(x - 2) (x - 2)$ .

$4 + y = (x - 2) (x - 2)$

خطوة 10.4.3.1.2

وسّع $(x - 2) (x - 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.3.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 + y = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

خطوة 10.4.3.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$4 + y = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

خطوة 10.4.3.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$4 + y = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

خطوة 10.4.3.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.3.1.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$4 + y = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

خطوة 10.4.3.1.3.1.2

انقُل $- 2$ إلى يسار $x$ .

$4 + y = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

خطوة 10.4.3.1.3.1.3

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$4 + y = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

خطوة 10.4.3.1.3.2

اطرح $2 x$ من $- 2 x$ .

$4 + y = x^{2} - 4 x + 4$

خطوة 10.5

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$y = x^{2} - 4 x + 4 - 4$

خطوة 10.5.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $x^{2} - 4 x + 4 - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.1

اطرح $4$ من $4$ .

$y = x^{2} - 4 x + 0$

خطوة 10.5.2.2

أضف $x^{2} - 4 x$ و $0$ .

$y = x^{2} - 4 x$

خطوة 11

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$

خطوة 12

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ هي معكوس $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

نطاق المعكوس هو مدى الدالة الأصلية والعكس صحيح. أوجِد نطاق ومدى $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ و $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ وقارن بينهما.

خطوة 12.2

أوجِد مدى $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

أوجِد مدى $2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.1

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$[2, \infty)$

خطوة 12.2.2

أوجِد مدى $2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.2.1

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$(- \infty, 2]$

خطوة 12.2.3

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.3.1

يتكون الاتحاد من جميع العناصر الموجودة في كل فترة.

$(- \infty, \infty)$

خطوة 12.3

أوجِد نطاق $2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$- 1 (- 4 - x) \geq 0$

خطوة 12.3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.2.1

اقسِم كل حد في $- 1 (- 4 - x) \geq 0$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.2.1.1

اقسِم كل حد في $- 1 (- 4 - x) \geq 0$ على $- 1$ . وعند ضرب كلا طرفي المتباينة في قيمة سالبة أو قسمتهما عليها، اعكس اتجاه علامة المتباينة.

$\frac{- 1 (- 4 - x)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

خطوة 12.3.2.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.2.1.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{- 4 - x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

خطوة 12.3.2.1.2.2

اقسِم $- 4 - x$ على $1$ .

$- 4 - x \leq \frac{0}{- 1}$

خطوة 12.3.2.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.2.1.3.1

اقسِم $0$ على $- 1$ .

$- 4 - x \leq 0$

خطوة 12.3.2.2

أضِف $4$ إلى كلا طرفي المتباينة.

$- x \leq 4$

خطوة 12.3.2.3

اقسِم كل حد في $- x \leq 4$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.2.3.1

اقسِم كل حد في $- x \leq 4$ على $- 1$ . وعند ضرب كلا طرفي المتباينة في قيمة سالبة أو قسمتهما عليها، اعكس اتجاه علامة المتباينة.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{4}{- 1}$

خطوة 12.3.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.2.3.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} \geq \frac{4}{- 1}$

خطوة 12.3.2.3.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x \geq \frac{4}{- 1}$

خطوة 12.3.2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.2.3.3.1

اقسِم $4$ على $- 1$ .

$x \geq - 4$

خطوة 12.3.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$[- 4, \infty)$

خطوة 12.4

بما أن نطاق $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ هو مدى $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ ومدى $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ هو نطاق $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ ، إذن $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ هي معكوس $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$

خطوة 13