ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$1$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{16}$ , $\frac{1}{64}$ , $\frac{1}{256}$

خطوة 1

هذه متتالية هندسية حيث توجد نسبة مشتركة بين كل حد. في هذه الحالة، ضرب الحد السابق للمتتالية في $\frac{1}{4}$ يعطينا الحد التالي. بعبارة أخرى، $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

المتتالية الهندسية: $r = \frac{1}{4}$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة المتتالية الهندسية.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي $a_{1} = 1$ و $r = \frac{1}{4}$ .

$a_{n} = 1 {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

خطوة 4

اضرب ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ في $1$ .

$a_{n} = {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

خطوة 5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{4}$ .

$a_{n} = \frac{1^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

خطوة 6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$a_{n} = \frac{1}{4^{n - 1}}$

خطوة 7

هذه هي القاعدة المُستخدمة لإيجاد مجموع أول $n$ من حدود المتتالية الهندسية. لإيجاد قيمته، أوجِد قيمتَي $r$ و $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

خطوة 8

استبدِل المتغيرات بالقيم المعروفة لإيجاد $S_{5}$ .

$S_{5} = 1 \cdot \frac{{(\frac{1}{4})}^{5} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

خطوة 9

اضرب $\frac{{(\frac{1}{4})}^{5} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$ في $1$ .

$S_{5} = \frac{{(\frac{1}{4})}^{5} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

خطوة 10

اضرب بسط الكسر وقاسمه في $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $\frac{{(\frac{1}{4})}^{5} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$S_{5} = \frac{4}{4} \cdot \frac{{(\frac{1}{4})}^{5} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

خطوة 10.2

اجمع.

$S_{5} = \frac{4 ({(\frac{1}{4})}^{5} - 1)}{4 (\frac{1}{4} - 1)}$

خطوة 11

طبّق خاصية التوزيع.

$S_{5} = \frac{4 {(\frac{1}{4})}^{5} + 4 \cdot - 1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 \cdot - 1}$

خطوة 12

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

ألغِ العامل المشترك.

$S_{5} = \frac{4 {(\frac{1}{4})}^{5} + 4 \cdot - 1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 \cdot - 1}$

خطوة 12.2

أعِد كتابة العبارة.

$S_{5} = \frac{4 {(\frac{1}{4})}^{5} + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

خطوة 13

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{4}$ .

$S_{5} = \frac{4 (\frac{1^{5}}{4^{5}}) + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

خطوة 13.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4^{5}$ .

$S_{5} = \frac{4 (\frac{1^{5}}{4 \cdot 4^{4}}) + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

خطوة 13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$S_{5} = \frac{4 (\frac{1^{5}}{4 \cdot 4^{4}}) + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

خطوة 13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$S_{5} = \frac{\frac{1^{5}}{4^{4}} + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

خطوة 13.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$S_{5} = \frac{\frac{1}{4^{4}} + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

خطوة 13.4

ارفع $4$ إلى القوة $4$ .

$S_{5} = \frac{\frac{1}{256} + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

خطوة 13.5

اضرب $4$ في $- 1$ .

$S_{5} = \frac{\frac{1}{256} - 4}{1 + 4 \cdot - 1}$

خطوة 13.6

لكتابة $- 4$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{256}{256}$ .

$S_{5} = \frac{\frac{1}{256} - 4 \cdot \frac{256}{256}}{1 + 4 \cdot - 1}$

خطوة 13.7

اجمع $- 4$ و $\frac{256}{256}$ .

$S_{5} = \frac{\frac{1}{256} + \frac{- 4 \cdot 256}{256}}{1 + 4 \cdot - 1}$

خطوة 13.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$S_{5} = \frac{\frac{1 - 4 \cdot 256}{256}}{1 + 4 \cdot - 1}$

خطوة 13.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.9.1

اضرب $- 4$ في $256$ .

$S_{5} = \frac{\frac{1 - 1024}{256}}{1 + 4 \cdot - 1}$

خطوة 13.9.2

اطرح $1024$ من $1$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 1023}{256}}{1 + 4 \cdot - 1}$

خطوة 13.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$S_{5} = \frac{- \frac{1023}{256}}{1 + 4 \cdot - 1}$

خطوة 14

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اضرب $4$ في $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{1023}{256}}{1 - 4}$

خطوة 14.2

اطرح $4$ من $1$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{1023}{256}}{- 3}$

خطوة 15

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$S_{5} = - \frac{1023}{256} \cdot \frac{1}{- 3}$

خطوة 16

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1023}{256}$ إلى بسط الكسر.

$S_{5} = \frac{- 1023}{256} \cdot \frac{1}{- 3}$

خطوة 16.2

أخرِج العامل $3$ من $- 1023$ .

$S_{5} = \frac{3 (- 341)}{256} \cdot \frac{1}{- 3}$

خطوة 16.3

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$S_{5} = \frac{3 \cdot - 341}{256} \cdot \frac{1}{3 \cdot - 1}$

خطوة 16.4

ألغِ العامل المشترك.

$S_{5} = \frac{3 \cdot - 341}{256} \cdot \frac{1}{3 \cdot - 1}$

خطوة 16.5

أعِد كتابة العبارة.

$S_{5} = \frac{- 341}{256} \cdot \frac{1}{- 1}$

خطوة 17

اضرب $\frac{- 341}{256}$ في $\frac{1}{- 1}$ .

$S_{5} = \frac{- 341}{256 \cdot - 1}$

خطوة 18

اضرب $256$ في $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- 341}{- 256}$

خطوة 19

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$S_{5} = \frac{341}{256}$