ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (3 y + 5) - \ln (y - 1) = \ln (- 4 y + 10)$

خطوة 1

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{3 y + 5}{y - 1}) = \ln (- 4 y + 10)$

خطوة 2

لكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن يتساوى المتغير المستقل للوغاريتمات في كلا المتعادلين.

$\frac{3 y + 5}{y - 1} = - 4 y + 10$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$y - 1, 1, 1$

خطوة 3.1.2

احذِف الأقواس.

$y - 1, 1, 1$

خطوة 3.1.3

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$y - 1$

خطوة 3.2

اضرب كل حد في $\frac{3 y + 5}{y - 1} = - 4 y + 10$ في $y - 1$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اضرب كل حد في $\frac{3 y + 5}{y - 1} = - 4 y + 10$ في $y - 1$ .

$\frac{3 y + 5}{y - 1} (y - 1) = - 4 y (y - 1) + 10 (y - 1)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 y + 5}{y - 1} (y - 1) = - 4 y (y - 1) + 10 (y - 1)$

خطوة 3.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$3 y + 5 = - 4 y (y - 1) + 10 (y - 1)$

خطوة 3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 y + 5 = - 4 y \cdot y - 4 y \cdot - 1 + 10 (y - 1)$

خطوة 3.2.3.1.2

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1.2.1

انقُل $y$ .

$3 y + 5 = - 4 (y \cdot y) - 4 y \cdot - 1 + 10 (y - 1)$

خطوة 3.2.3.1.2.2

اضرب $y$ في $y$ .

$3 y + 5 = - 4 y^{2} - 4 y \cdot - 1 + 10 (y - 1)$

خطوة 3.2.3.1.3

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$3 y + 5 = - 4 y^{2} + 4 y + 10 (y - 1)$

خطوة 3.2.3.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$3 y + 5 = - 4 y^{2} + 4 y + 10 y + 10 \cdot - 1$

خطوة 3.2.3.1.5

اضرب $10$ في $- 1$ .

$3 y + 5 = - 4 y^{2} + 4 y + 10 y - 10$

خطوة 3.2.3.2

أضف $4 y$ و $10 y$ .

$3 y + 5 = - 4 y^{2} + 14 y - 10$

خطوة 3.3

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $y$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$- 4 y^{2} + 14 y - 10 = 3 y + 5$

خطوة 3.3.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اطرح $3 y$ من كلا المتعادلين.

$- 4 y^{2} + 14 y - 10 - 3 y = 5$

خطوة 3.3.2.2

اطرح $3 y$ من $14 y$ .

$- 4 y^{2} + 11 y - 10 = 5$

خطوة 3.3.3

انقُل كل الحدود إلى المتعادل الأيسر وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$- 4 y^{2} + 11 y - 10 - 5 = 0$

خطوة 3.3.3.2

اطرح $5$ من $- 10$ .

$- 4 y^{2} + 11 y - 15 = 0$

خطوة 3.3.4

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3.3.5

عوّض بقيم $a = - 4$ و $b = 11$ و $c = - 15$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $y$ .

$\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 4 \cdot - 15)}}{2 \cdot - 4}$

خطوة 3.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.1.1

ارفع $11$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot - 4}$

خطوة 3.3.6.1.2

اضرب $- 4 \cdot - 4 \cdot - 15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.1.2.1

اضرب $- 4$ في $- 4$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 16 \cdot - 15}}{2 \cdot - 4}$

خطوة 3.3.6.1.2.2

اضرب $16$ في $- 15$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 240}}{2 \cdot - 4}$

خطوة 3.3.6.1.3

اطرح $240$ من $121$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{- 119}}{2 \cdot - 4}$

خطوة 3.3.6.1.4

أعِد كتابة $- 119$ بالصيغة $- 1 (119)$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{- 1 \cdot 119}}{2 \cdot - 4}$

خطوة 3.3.6.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (119)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}}{2 \cdot - 4}$

خطوة 3.3.6.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$y = \frac{- 11 \pm i \sqrt{119}}{2 \cdot - 4}$

خطوة 3.3.6.2

اضرب $2$ في $- 4$ .

$y = \frac{- 11 \pm i \sqrt{119}}{- 8}$

خطوة 3.3.6.3

بسّط $\frac{- 11 \pm i \sqrt{119}}{- 8}$ .

$y = \frac{11 \pm i \sqrt{119}}{8}$

خطوة 3.3.7

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$y = \frac{11 + i \sqrt{119}}{8}, \frac{11 - i \sqrt{119}}{8}$