ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x}{x^{2} + 6 x - 7}$

خطوة 1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

حلّل $x^{2} + 6 x - 7$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 7$ ومجموعهما $6$ .

$- 1, 7$

خطوة 1.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\frac{x}{(x - 1) (x + 7)}$

خطوة 1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

خطوة 1.3

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 7}$

خطوة 1.4

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $(x - 1) (x + 7)$ .

$\frac{x (x - 1) (x + 7)}{(x - 1) (x + 7)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 7)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

خطوة 1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x (x - 1) (x + 7)}{(x - 1) (x + 7)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 7)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

خطوة 1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x (x + 7)}{x + 7} = \frac{(A) (x - 1) (x + 7)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

خطوة 1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x (x + 7)}{x + 7} = \frac{(A) (x - 1) (x + 7)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

خطوة 1.6.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{(A) (x - 1) (x + 7)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

خطوة 1.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{A (x - 1) (x + 7)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

خطوة 1.7.1.2

اقسِم $(A) (x + 7)$ على $1$ .

$x = (A) (x + 7) + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

خطوة 1.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x = A x + A \cdot 7 + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

خطوة 1.7.3

انقُل $7$ إلى يسار $A$ .

$x = A x + 7 \cdot A + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

خطوة 1.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = A x + 7 A + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

خطوة 1.7.4.2

اقسِم $(B) (x - 1)$ على $1$ .

$x = A x + 7 A + (B) (x - 1)$

خطوة 1.7.5

طبّق خاصية التوزيع.

$x = A x + 7 A + B x + B \cdot - 1$

خطوة 1.7.6

انقُل $- 1$ إلى يسار $B$ .

$x = A x + 7 A + B x - 1 \cdot B$

خطوة 1.7.7

أعِد كتابة $- 1 B$ بالصيغة $- B$ .

$x = A x + 7 A + B x - B$

خطوة 1.8

انقُل $7 A$ .

$x = A x + B x + 7 A - B$

خطوة 2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = A + B$

خطوة 2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = 7 A - 1 B$

خطوة 2.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$1 = A + B$

$0 = 7 A - 1 B$

$1 = A + B$

$0 = 7 A - 1 B$

خطوة 3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد قيمة $A$ في $1 = A + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = 7 A - 1 B$

خطوة 3.1.2

اطرح $B$ من كلا المتعادلين.

$A = 1 - B$

$0 = 7 A - 1 B$

$A = 1 - B$

$0 = 7 A - 1 B$

خطوة 3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $1 - B$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $0 = 7 A - 1 B$ بـ $1 - B$ .

$0 = 7 (1 - B) - 1 B$

$A = 1 - B$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $7 (1 - B) - 1 B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$0 = 7 \cdot 1 + 7 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

خطوة 3.2.2.1.1.2

اضرب $7$ في $1$ .

$0 = 7 + 7 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

خطوة 3.2.2.1.1.3

اضرب $- 1$ في $7$ .

$0 = 7 - 7 B - 1 B$

$A = 1 - B$

خطوة 3.2.2.1.1.4

أعِد كتابة $- 1 B$ بالصيغة $- B$ .

$0 = 7 - 7 B - B$

$A = 1 - B$

$0 = 7 - 7 B - B$

$A = 1 - B$

خطوة 3.2.2.1.2

اطرح $B$ من $- 7 B$ .

$0 = 7 - 8 B$

$A = 1 - B$

$0 = 7 - 8 B$

$A = 1 - B$

$0 = 7 - 8 B$

$A = 1 - B$

$0 = 7 - 8 B$

$A = 1 - B$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $B$ في $0 = 7 - 8 B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $7 - 8 B = 0$ .

$7 - 8 B = 0$

$A = 1 - B$

خطوة 3.3.2

اطرح $7$ من كلا المتعادلين.

$- 8 B = - 7$

$A = 1 - B$

خطوة 3.3.3

اقسِم كل حد في $- 8 B = - 7$ على $- 8$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اقسِم كل حد في $- 8 B = - 7$ على $- 8$ .

$\frac{- 8 B}{- 8} = \frac{- 7}{- 8}$

$A = 1 - B$

خطوة 3.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 8 B}{- 8} = \frac{- 7}{- 8}$

$A = 1 - B$

خطوة 3.3.3.2.1.2

اقسِم $B$ على $1$ .

$B = \frac{- 7}{- 8}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 7}{- 8}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 7}{- 8}$

$A = 1 - B$

خطوة 3.3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$B = \frac{7}{8}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{7}{8}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{7}{8}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{7}{8}$

$A = 1 - B$

خطوة 3.4

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ بـ $\frac{7}{8}$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ في $A = 1 - B$ بـ $\frac{7}{8}$ .

$A = 1 - (\frac{7}{8})$

$B = \frac{7}{8}$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

بسّط $1 - (\frac{7}{8})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$A = \frac{8}{8} - \frac{7}{8}$

$B = \frac{7}{8}$

خطوة 3.4.2.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A = \frac{8 - 7}{8}$

$B = \frac{7}{8}$

خطوة 3.4.2.1.3

اطرح $7$ من $8$ .

$A = \frac{1}{8}$

$B = \frac{7}{8}$

$A = \frac{1}{8}$

$B = \frac{7}{8}$

$A = \frac{1}{8}$

$B = \frac{7}{8}$

$A = \frac{1}{8}$

$B = \frac{7}{8}$

خطوة 3.5

اسرِد جميع الحلول.

$A = \frac{1}{8}, B = \frac{7}{8}$

خطوة 4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 7}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$\frac{\frac{1}{8}}{x - 1} + \frac{\frac{7}{8}}{x + 7}$