ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$25 x^{2} + y^{2} - 100 x - 2 y + 76 = 0$

خطوة 1

أوجِد الصيغة القياسية للقطع الناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $76$ من كلا المتعادلين.

$25 x^{2} + y^{2} - 100 x - 2 y = - 76$

خطوة 1.2

أكمل المربع لـ $25 x^{2} - 100 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 25$

$b = - 100$

$c = 0$

خطوة 1.2.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.2.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 100}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 100$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 100$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 (25)}$

خطوة 1.2.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.2.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 50}{25}$

خطوة 1.2.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 50$ و $25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $25$ من $- 50$ .

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25}$

خطوة 1.2.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $25$ من $25$ .

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 (1)}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 1}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 2}{1}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.4

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$d = - 2$

خطوة 1.2.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 100)}^{2}}{4 \cdot 25}$

خطوة 1.2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

ارفع $- 100$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot 25}$

خطوة 1.2.4.2.1.2

اضرب $4$ في $25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{100}$

خطوة 1.2.4.2.1.3

اقسِم $10000$ على $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 100$

خطوة 1.2.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $100$ .

$e = 0 - 100$

خطوة 1.2.4.2.2

اطرح $100$ من $0$ .

$e = - 100$

خطوة 1.2.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $25 {(x - 2)}^{2} - 100$ .

$25 {(x - 2)}^{2} - 100$

خطوة 1.3

استبدِل $25 x^{2} - 100 x$ بـ $25 {(x - 2)}^{2} - 100$ في المعادلة $25 x^{2} + y^{2} - 100 x - 2 y = - 76$ .

$25 {(x - 2)}^{2} - 100 + y^{2} - 2 y = - 76$

خطوة 1.4

انقُل $- 100$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $100$ إلى كلا الطرفين.

$25 {(x - 2)}^{2} + y^{2} - 2 y = - 76 + 100$

خطوة 1.5

أكمل المربع لـ $y^{2} - 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

خطوة 1.5.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.5.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

خطوة 1.5.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 1}{1}$

خطوة 1.5.3.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$d = - 1$

خطوة 1.5.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.5.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.5.4.2.1.2

اضرب $4$ في $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

خطوة 1.5.4.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

خطوة 1.5.4.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

خطوة 1.5.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$e = 0 - 1$

خطوة 1.5.4.2.2

اطرح $1$ من $0$ .

$e = - 1$

خطوة 1.5.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس ${(y - 1)}^{2} - 1$ .

${(y - 1)}^{2} - 1$

خطوة 1.6

استبدِل $y^{2} - 2 y$ بـ ${(y - 1)}^{2} - 1$ في المعادلة $25 x^{2} + y^{2} - 100 x - 2 y = - 76$ .

$25 {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} - 1 = - 76 + 100$

خطوة 1.7

انقُل $- 1$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $1$ إلى كلا الطرفين.

$25 {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = - 76 + 100 + 1$

خطوة 1.8

بسّط $- 76 + 100 + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

أضف $- 76$ و $100$ .

$25 {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 24 + 1$

خطوة 1.8.2

أضف $24$ و $1$ .

$25 {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 25$

خطوة 1.9

اقسِم كل حد على $25$ ليصبح الطرف الأيمن مساويًا لواحد.

$\frac{25 {(x - 2)}^{2}}{25} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{25} = \frac{25}{25}$

خطوة 1.10

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

${(x - 2)}^{2} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{25} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الناقص. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المستخدمة لإيجاد المركز بالإضافة إلى المحور الرئيسي والثانوي للقطع الناقص.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الناقص بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $a$ نصف قطر المحور الرئيسي للقطع الناقص، ويمثل $b$ نصف قطر المحور الثانوي للقطع الناقص، ويمثل $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل.

$a = 5$

$b = 1$

$k = 1$

$h = 2$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الناقص الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(2, 1)$

خطوة 5

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الناقص باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(1)}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{25 - {(1)}^{2}}$

خطوة 5.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sqrt{25 - 1 \cdot 1}$

خطوة 5.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\sqrt{25 - 1}$

خطوة 5.3.4

اطرح $1$ من $25$ .

$\sqrt{24}$

خطوة 5.3.5

أعِد كتابة $24$ بالصيغة $2^{2} \cdot 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.1

أخرِج العامل $4$ من $24$ .

$\sqrt{4 (6)}$

خطوة 5.3.5.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 6}$

خطوة 5.3.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$2 \sqrt{6}$

خطوة 6

أوجِد الرؤوس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن إيجاد الرأس الأول لقطع ناقص بجمع $a$ مع $k$ .

$(h, k + a)$

خطوة 6.2

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(2, 1 + 5)$

خطوة 6.3

بسّط.

$(2, 6)$

خطوة 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

خطوة 6.5

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(2, 1 - (5))$

خطوة 6.6

بسّط.

$(2, - 4)$

خطوة 6.7

القطوع الناقصة لها رأسان.

${Vertex}_{1}$ : $(2, 6)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(2, 6)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 4)$

خطوة 7

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع ناقص بجمع $c$ مع $k$ .

$(h, k + c)$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(2, 1 + 2 \sqrt{6})$

خطوة 7.3

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع ناقص بطرح $c$ من $k$ .

$(h, k - c)$

خطوة 7.4

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(2, 1 - (2 \sqrt{6}))$

خطوة 7.5

بسّط.

$(2, 1 - 2 \sqrt{6})$

خطوة 7.6

القطوع الناقصة لها بؤرتان.

${Focus}_{1}$ : $(2, 1 + 2 \sqrt{6})$

${Focus}_{2}$ : $(2, 1 - 2 \sqrt{6})$

${Focus}_{1}$ : $(2, 1 + 2 \sqrt{6})$

${Focus}_{2}$ : $(2, 1 - 2 \sqrt{6})$

خطوة 8

أوجِد الاختلاف المركزي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد الاختلاف المركزي باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

خطوة 8.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} - {(1)}^{2}}}{5}$

خطوة 8.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - 1^{2}}}{5}$

خطوة 8.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{\sqrt{25 - 1 \cdot 1}}{5}$

خطوة 8.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\sqrt{25 - 1}}{5}$

خطوة 8.3.4

اطرح $1$ من $25$ .

$\frac{\sqrt{24}}{5}$

خطوة 8.3.5

أعِد كتابة $24$ بالصيغة $2^{2} \cdot 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.5.1

أخرِج العامل $4$ من $24$ .

$\frac{\sqrt{4 (6)}}{5}$

خطوة 8.3.5.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 6}}{5}$

خطوة 8.3.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

خطوة 9

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل القطع الناقص بيانيًا وتحليله.

المركز: $(2, 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(2, 6)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(2, 1 + 2 \sqrt{6})$

${Focus}_{2}$ : $(2, 1 - 2 \sqrt{6})$

الاختلاف المركزي: $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

خطوة 10