ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x - 4}{x + 11} \geq \frac{1}{x - 1}$

خطوة 1

اطرح $\frac{1}{x - 1}$ من كلا طرفي المتباينة.

$\frac{x - 4}{x + 11} - \frac{1}{x - 1} \geq 0$

خطوة 2

بسّط $\frac{x - 4}{x + 11} - \frac{1}{x - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لكتابة $\frac{x - 4}{x + 11}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x - 4}{x + 11} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} \geq 0$

خطوة 2.2

لكتابة $- \frac{1}{x - 1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x + 11}{x + 11}$ .

$\frac{x - 4}{x + 11} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 11}{x + 11} \geq 0$

خطوة 2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(x + 11) (x - 1)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $\frac{x - 4}{x + 11}$ في $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{(x + 11) (x - 1)} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 11}{x + 11} \geq 0$

خطوة 2.3.2

اضرب $\frac{1}{x - 1}$ في $\frac{x + 11}{x + 11}$ .

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{(x + 11) (x - 1)} - \frac{x + 11}{(x - 1) (x + 11)} \geq 0$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب عوامل $(x - 1) (x + 11)$ .

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{(x + 11) (x - 1)} - \frac{x + 11}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

خطوة 2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{(x - 4) (x - 1) - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

خطوة 2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

وسّع $(x - 4) (x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (x - 1) - 4 (x - 1) - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

خطوة 2.5.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 4 (x - 1) - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

خطوة 2.5.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

خطوة 2.5.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

خطوة 2.5.2.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

خطوة 2.5.2.1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\frac{x^{2} - x - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

خطوة 2.5.2.1.4

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x - 4 x + 4 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

خطوة 2.5.2.2

اطرح $4 x$ من $- x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

خطوة 2.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x - 1 \cdot 11}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

خطوة 2.5.4

اضرب $- 1$ في $11$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x - 11}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

خطوة 2.5.5

اطرح $x$ من $- 5 x$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 4 - 11}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

خطوة 2.5.6

اطرح $11$ من $4$ .

$\frac{x^{2} - 6 x - 7}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

خطوة 2.5.7

حلّل $x^{2} - 6 x - 7$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.7.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 7$ ومجموعهما $- 6$ .

$- 7, 1$

خطوة 2.5.7.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

خطوة 3

أوجِد جميع القيم التي تتحول فيها العبارة من سالبة إلى موجبة بتعيين قيمة كل عامل لتصبح مساوية لـ $0$ وحلّها.

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

$x + 11 = 0$

$x - 1 = 0$

خطوة 4

أضف $7$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 7$

خطوة 5

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 6

اطرح $11$ من كلا المتعادلين.

$x = - 11$

خطوة 7

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 8

أوجِد قيمة كل عامل لإيجاد القيم التي تنتقل فيها عبارة القيمة المطلقة من السالب إلى الموجب.

$x = 7$

$x = - 1$

$x = - 11$

$x = 1$

خطوة 9

وحّد الحلول.

$x = 7, - 1, - 11, 1$

خطوة 10

أوجِد نطاق $\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x + 11) (x - 1)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x + 11) (x - 1)}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$(x + 11) (x - 1) = 0$

خطوة 10.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x + 11 = 0$

$x - 1 = 0$

خطوة 10.2.2

عيّن قيمة العبارة $x + 11$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

عيّن قيمة $x + 11$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 11 = 0$

خطوة 10.2.2.2

اطرح $11$ من كلا المتعادلين.

$x = - 11$

خطوة 10.2.3

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 10.2.3.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 10.2.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x + 11) (x - 1) = 0$ صحيحة.

$x = - 11, 1$

خطوة 10.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(- \infty, - 11) \cup (- 11, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 11

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 11$

$- 11 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 7$

$x > 7$

خطوة 12

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 11$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 11$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 14$

خطوة 12.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 14$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{(- 14) - 4}{(- 14) + 11} \geq \frac{1}{(- 14) - 1}$

خطوة 12.1.3

الطرف الأيسر $6$ أكبر من الطرف الأيمن $- 0.0\overline{6}$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 12.2

اختبر قيمة في الفترة $- 11 < x < - 1$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 11 < x < - 1$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 6$

خطوة 12.2.2

استبدِل $x$ بـ $- 6$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{(- 6) - 4}{(- 6) + 11} \geq \frac{1}{(- 6) - 1}$

خطوة 12.2.3

الطرف الأيسر $- 2$ أصغر من الطرف الأيمن $- 0.\overline{142857}$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 12.3

اختبر قيمة في الفترة $- 1 < x < 1$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

اختر قيمة من الفترة $- 1 < x < 1$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 12.3.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{(0) - 4}{(0) + 11} \geq \frac{1}{(0) - 1}$

خطوة 12.3.3

الطرف الأيسر $- 0.\overline{36}$ أكبر من الطرف الأيمن $- 1$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 12.4

اختبر قيمة في الفترة $1 < x < 7$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1

اختر قيمة من الفترة $1 < x < 7$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 4$

خطوة 12.4.2

استبدِل $x$ بـ $4$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{(4) - 4}{(4) + 11} \geq \frac{1}{(4) - 1}$

خطوة 12.4.3

الطرف الأيسر $0$ أصغر من الطرف الأيمن $0.\overline{3}$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 12.5

اختبر قيمة في الفترة $x > 7$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

اختر قيمة من الفترة $x > 7$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 10$

خطوة 12.5.2

استبدِل $x$ بـ $10$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{(10) - 4}{(10) + 11} \geq \frac{1}{(10) - 1}$

خطوة 12.5.3

الطرف الأيسر $0.\overline{285714}$ أكبر من الطرف الأيمن $0.\overline{1}$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 12.6

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 11$ صحيحة

$- 11 < x < - 1$ خطأ

$- 1 < x < 1$ صحيحة

$1 < x < 7$ خطأ

$x > 7$ صحيحة

$x < - 11$ صحيحة

$- 11 < x < - 1$ خطأ

$- 1 < x < 1$ صحيحة

$1 < x < 7$ خطأ

$x > 7$ صحيحة

خطوة 13

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$x < - 11$ أو $- 1 \leq x < 1$ أو $x \geq 7$

خطوة 14

حوّل المتباينة إلى ترميز فترة.

$(- \infty, - 11) \cup [- 1, 1) \cup [7, \infty)$

خطوة 15