ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{8 x^{3} + 13 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $x$ من $8 x^{3} + 13 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $8 x^{3}$ .

$\frac{x (8 x^{2}) + 13 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $x$ من $13 x$ .

$\frac{x (8 x^{2}) + x \cdot 13}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x (8 x^{2}) + x \cdot 13$ .

$\frac{x (8 x^{2} + 13)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل من الرتبة الثانية، يلزم وجود $2$ من الحدود في بسط الكسر. ودائمًا ما يكون عدد الحدود اللازم في بسط الكسر مساويًا لرتبة العامل في القاسم.

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 1.3

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.4

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي ${(x^{2} + 2)}^{2}$ .

$\frac{x (8 x^{2} + 13) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x^{2} + 2)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x (8 x^{2} + 13) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.5.1.2

اقسِم $x (8 x^{2} + 13)$ على $1$ .

$x (8 x^{2} + 13) = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x (8 x^{2}) + x \cdot 13 = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.5.3

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$8 x \cdot x^{2} + x \cdot 13 = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.5.3.2

انقُل $13$ إلى يسار $x$ .

$8 x \cdot x^{2} + 13 \cdot x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.6

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

انقُل $x^{2}$ .

$8 (x^{2} x) + 13 \cdot x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.6.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$8 (x^{2} x) + 13 \cdot x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.6.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$8 x^{2 + 1} + 13 \cdot x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.6.3

أضف $2$ و $1$ .

$8 x^{3} + 13 \cdot x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

$8 x^{3} + 13 x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x^{2} + 2)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$8 x^{3} + 13 x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.7.1.2

اقسِم $A x + B$ على $1$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.7.2

احذِف العامل المشترك لـ ${(x^{2} + 2)}^{2}$ و $x^{2} + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.2.1

أخرِج العامل $x^{2} + 2$ من $(C x + D) {(x^{2} + 2)}^{2}$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + \frac{(x^{2} + 2) ((C x + D) (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

خطوة 1.7.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.2.2.1

اضرب في $1$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + \frac{(x^{2} + 2) ((C x + D) (x^{2} + 2))}{(x^{2} + 2) \cdot 1}$

خطوة 1.7.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + \frac{(x^{2} + 2) ((C x + D) (x^{2} + 2))}{(x^{2} + 2) \cdot 1}$

خطوة 1.7.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + \frac{(C x + D) (x^{2} + 2)}{1}$

خطوة 1.7.2.2.4

اقسِم $(C x + D) (x^{2} + 2)$ على $1$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + (C x + D) (x^{2} + 2)$

خطوة 1.7.3

وسّع $(C x + D) (x^{2} + 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + C x (x^{2} + 2) + D (x^{2} + 2)$

خطوة 1.7.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 2 + D (x^{2} + 2)$

خطوة 1.7.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 2 + D x^{2} + D \cdot 2$

خطوة 1.7.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1.1

انقُل $x^{2}$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 2 + D x^{2} + D \cdot 2$

خطوة 1.7.4.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 2 + D x^{2} + D \cdot 2$

خطوة 1.7.4.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + C x^{2 + 1} + C x \cdot 2 + D x^{2} + D \cdot 2$

خطوة 1.7.4.1.3

أضف $2$ و $1$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + C x^{3} + C x \cdot 2 + D x^{2} + D \cdot 2$

خطوة 1.7.4.2

انقُل $2$ إلى يسار $C x$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + C x^{3} + 2 \cdot (C x) + D x^{2} + D \cdot 2$

خطوة 1.7.4.3

انقُل $2$ إلى يسار $D$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + B + C x^{3} + 2 C x + D x^{2} + 2 D$

خطوة 1.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

انقُل $B$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + C x^{3} + 2 C x + D x^{2} + B + 2 D$

خطوة 1.8.2

انقُل $2 C x$ .

$8 x^{3} + 13 x = A x + C x^{3} + D x^{2} + 2 C x + B + 2 D$

خطوة 1.8.3

انقُل $A x$ .

$8 x^{3} + 13 x = C x^{3} + D x^{2} + A x + 2 C x + B + 2 D$

خطوة 2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x^{3}$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$8 = C$

خطوة 2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x^{2}$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = D$

خطوة 2.3

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$13 = A + 2 C$

خطوة 2.4

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = B + 2 D$

خطوة 2.5

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$8 = C$

$0 = D$

$13 = A + 2 C$

$0 = B + 2 D$

$8 = C$

$0 = D$

$13 = A + 2 C$

$0 = B + 2 D$

خطوة 3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $C = 8$ .

$C = 8$

$0 = D$

$13 = A + 2 C$

$0 = B + 2 D$

خطوة 3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $C$ بـ $8$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $D = 0$ .

$D = 0$

$C = 8$

$13 = A + 2 C$

$0 = B + 2 D$

خطوة 3.2.2

استبدِل كافة حالات حدوث $C$ في $13 = A + 2 C$ بـ $8$ .

$13 = A + 2 (8)$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B + 2 D$

خطوة 3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

اضرب $2$ في $8$ .

$13 = A + 16$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B + 2 D$

$13 = A + 16$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B + 2 D$

$13 = A + 16$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B + 2 D$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $D$ بـ $0$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A + 16 = 13$ .

$A + 16 = 13$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B + 2 D$

خطوة 3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $A$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اطرح $16$ من كلا المتعادلين.

$A = 13 - 16$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B + 2 D$

خطوة 3.3.2.2

اطرح $16$ من $13$ .

$A = - 3$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B + 2 D$

$A = - 3$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B + 2 D$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $D$ في $0 = B + 2 D$ بـ $0$ .

$0 = B + 2 (0)$

$A = - 3$

$D = 0$

$C = 8$

خطوة 3.3.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

بسّط $B + 2 (0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1.1

اضرب $2$ في $0$ .

$0 = B + 0$

$A = - 3$

$D = 0$

$C = 8$

خطوة 3.3.4.1.2

أضف $B$ و $0$ .

$0 = B$

$A = - 3$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B$

$A = - 3$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B$

$A = - 3$

$D = 0$

$C = 8$

$0 = B$

$A = - 3$

$D = 0$

$C = 8$

خطوة 3.4

أعِد كتابة المعادلة في صورة $B = 0$ .

$B = 0$

$A = - 3$

$D = 0$

$C = 8$

خطوة 3.5

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

$B = 0 A = - 3 D = 0 C = 8$

خطوة 3.6

اسرِد جميع الحلول.

$B = 0, A = - 3, D = 0, C = 8$

خطوة 4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A x + B}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 2}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ و $C$ و $D$ .

$\frac{- 3 x + 0}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{8 x + 0}{x^{2} + 2}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أضف $(- 3) \cdot x$ و $0$ .

$\frac{- 3 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{(8) \cdot x + 0}{x^{2} + 2}$

خطوة 5.2

أضف $(8) \cdot x$ و $0$ .

$\frac{- 3 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{8 x}{x^{2} + 2}$