ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{4} - 2 x^{3} + 6 x^{2} - 18 x - 27 = 0$

خطوة 1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد تجميع الحدود.

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + x^{4} - 18 x - 27 = 0$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $- 2 x^{2}$ من $- 2 x^{3} + 6 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $- 2 x^{2}$ من $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x^{2} x + 6 x^{2} + x^{4} - 18 x - 27 = 0$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل $- 2 x^{2}$ من $6 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 3 + x^{4} - 18 x - 27 = 0$

خطوة 1.2.3

أخرِج العامل $- 2 x^{2}$ من $- 2 x^{2} (x) - 2 x^{2} (- 3)$ .

$- 2 x^{2} (x - 3) + x^{4} - 18 x - 27 = 0$

خطوة 1.3

حلّل $x^{4} - 18 x - 27$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

$q = \pm 1$

خطوة 1.3.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

خطوة 1.3.3

عوّض بـ $3$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $3$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

عوّض بـ $3$ في متعدد الحدود.

$3^{4} - 18 \cdot 3 - 27$

خطوة 1.3.3.2

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$81 - 18 \cdot 3 - 27$

خطوة 1.3.3.3

اضرب $- 18$ في $3$ .

$81 - 54 - 27$

خطوة 1.3.3.4

اطرح $54$ من $81$ .

$27 - 27$

خطوة 1.3.3.5

اطرح $27$ من $27$ .

$0$

خطوة 1.3.4

بما أن $3$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x - 3$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{4} - 18 x - 27}{x - 3}$

خطوة 1.3.5

اقسِم $x^{4} - 18 x - 27$ على $x - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

خطوة 1.3.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{4}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

خطوة 1.3.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

خطوة 1.3.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{4} - 3 x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

خطوة 1.3.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

خطوة 1.3.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

خطوة 1.3.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $3 x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

خطوة 1.3.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

خطوة 1.3.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $3 x^{3} - 9 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

خطوة 1.3.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

خطوة 1.3.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$18 x$

خطوة 1.3.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $9 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$18 x$

خطوة 1.3.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{2}$

$27 x$

خطوة 1.3.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $9 x^{2} - 27 x$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{2}$

$27 x$

خطوة 1.3.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{2}$

$27 x$

$9 x$

خطوة 1.3.5.16

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{2}$

$27 x$

$9 x$

$27$

خطوة 1.3.5.17

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $9 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$9$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{2}$

$27 x$

$9 x$

$27$

خطوة 1.3.5.18

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$9$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{2}$

$27 x$

$9 x$

$27$

$9 x$

$27$

خطوة 1.3.5.19

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $9 x - 27$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$9$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{2}$

$27 x$

$9 x$

$27$

$9 x$

$27$

خطوة 1.3.5.20

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$9$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$18 x$

$27$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$18 x$

$9 x^{2}$

$27 x$

$9 x$

$27$

$9 x$

$27$

$0$

خطوة 1.3.5.21

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 9$

خطوة 1.3.6

اكتب $x^{4} - 18 x - 27$ في صورة مجموعة من العوامل.

$- 2 x^{2} (x - 3) + (x - 3) (x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 9) = 0$

خطوة 1.4

أخرِج العامل $x - 3$ من $- 2 x^{2} (x - 3) + (x - 3) (x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 9)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أخرِج العامل $x - 3$ من $- 2 x^{2} (x - 3)$ .

$(x - 3) (- 2 x^{2}) + (x - 3) (x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 9) = 0$

خطوة 1.4.2

أخرِج العامل $x - 3$ من $(x - 3) (- 2 x^{2}) + (x - 3) (x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 9)$ .

$(x - 3) (- 2 x^{2} + x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 9) = 0$

خطوة 1.5

أضف $- 2 x^{2}$ و $3 x^{2}$ .

$(x - 3) (x^{3} + x^{2} + 9 x + 9) = 0$

خطوة 1.6

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

أعِد كتابة $x^{3} + x^{2} + 9 x + 9$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.1

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.1.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(x - 3) ((x^{3} + x^{2}) + 9 x + 9) = 0$

خطوة 1.6.1.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$(x - 3) (x^{2} (x + 1) + 9 (x + 1)) = 0$

خطوة 1.6.1.2

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $x + 1$ .

$(x - 3) ((x + 1) (x^{2} + 9)) = 0$

خطوة 1.6.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(x - 3) (x + 1) (x^{2} + 9) = 0$

خطوة 2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة العبارة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 3 = 0$

خطوة 3.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 4.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $x^{2} + 9$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $x^{2} + 9$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} + 9 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $9$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} = - 9$

خطوة 5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

خطوة 5.2.3

بسّط $\pm \sqrt{- 9}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

أعِد كتابة $- 9$ بالصيغة $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

خطوة 5.2.3.2

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (9)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

خطوة 5.2.3.3

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

خطوة 5.2.3.4

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

خطوة 5.2.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm i \cdot 3$

خطوة 5.2.3.6

انقُل $3$ إلى يسار $i$ .

$x = \pm 3 i$

خطوة 5.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 3 i$

خطوة 5.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 3 i$

خطوة 5.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 3 i, - 3 i$

خطوة 6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 3) (x + 1) (x^{2} + 9) = 0$ صحيحة.

$x = 3, - 1, 3 i, - 3 i$