ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{12}{x^{2} - 9}$

خطوة 1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

حلّل الكسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{12}{x^{2} - 3^{2}}$

خطوة 1.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 3$ .

$\frac{12}{(x + 3) (x - 3)}$

خطوة 1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $A$ .

$\frac{A}{x + 3}$

خطوة 1.3

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{x + 3} + \frac{B}{x - 3}$

خطوة 1.4

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{12 (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{(A) (x + 3) (x - 3)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

خطوة 1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{12 (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{(A) (x + 3) (x - 3)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

خطوة 1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{12 (x - 3)}{x - 3} = \frac{(A) (x + 3) (x - 3)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

خطوة 1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{12 (x - 3)}{x - 3} = \frac{(A) (x + 3) (x - 3)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

خطوة 1.6.2

اقسِم $12$ على $1$ .

$12 = \frac{(A) (x + 3) (x - 3)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

خطوة 1.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$12 = \frac{A (x + 3) (x - 3)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

خطوة 1.7.1.2

اقسِم $(A) (x - 3)$ على $1$ .

$12 = (A) (x - 3) + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

خطوة 1.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$12 = A x + A \cdot - 3 + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

خطوة 1.7.3

انقُل $- 3$ إلى يسار $A$ .

$12 = A x - 3 \cdot A + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

خطوة 1.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$12 = A x - 3 A + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

خطوة 1.7.4.2

اقسِم $(B) (x + 3)$ على $1$ .

$12 = A x - 3 A + (B) (x + 3)$

خطوة 1.7.5

طبّق خاصية التوزيع.

$12 = A x - 3 A + B x + B \cdot 3$

خطوة 1.7.6

انقُل $3$ إلى يسار $B$ .

$12 = A x - 3 A + B x + 3 B$

خطوة 1.8

انقُل $- 3 A$ .

$12 = A x + B x - 3 A + 3 B$

خطوة 2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = A + B$

خطوة 2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$12 = - 3 A + 3 B$

خطوة 2.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$0 = A + B$

$12 = - 3 A + 3 B$

$0 = A + B$

$12 = - 3 A + 3 B$

خطوة 3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد قيمة $A$ في $0 = A + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$12 = - 3 A + 3 B$

خطوة 3.1.2

اطرح $B$ من كلا المتعادلين.

$A = - B$

$12 = - 3 A + 3 B$

$A = - B$

$12 = - 3 A + 3 B$

خطوة 3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $- B$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $12 = - 3 A + 3 B$ بـ $- B$ .

$12 = - 3 (- B) + 3 B$

$A = - B$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $- 3 (- B) + 3 B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$12 = 3 B + 3 B$

$A = - B$

خطوة 3.2.2.1.2

أضف $3 B$ و $3 B$ .

$12 = 6 B$

$A = - B$

$12 = 6 B$

$A = - B$

$12 = 6 B$

$A = - B$

$12 = 6 B$

$A = - B$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $B$ في $12 = 6 B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $6 B = 12$ .

$6 B = 12$

$A = - B$

خطوة 3.3.2

اقسِم كل حد في $6 B = 12$ على $6$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اقسِم كل حد في $6 B = 12$ على $6$ .

$\frac{6 B}{6} = \frac{12}{6}$

$A = - B$

خطوة 3.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 B}{6} = \frac{12}{6}$

$A = - B$

خطوة 3.3.2.2.1.2

اقسِم $B$ على $1$ .

$B = \frac{12}{6}$

$A = - B$

$B = \frac{12}{6}$

$A = - B$

$B = \frac{12}{6}$

$A = - B$

خطوة 3.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.3.1

اقسِم $12$ على $6$ .

$B = 2$

$A = - B$

$B = 2$

$A = - B$

$B = 2$

$A = - B$

$B = 2$

$A = - B$

خطوة 3.4

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ بـ $2$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ في $A = - B$ بـ $2$ .

$A = - (2)$

$B = 2$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$A = - 2$

$B = 2$

$A = - 2$

$B = 2$

$A = - 2$

$B = 2$

خطوة 3.5

اسرِد جميع الحلول.

$A = - 2, B = 2$

خطوة 4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{x + 3} + \frac{B}{x - 3}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$\frac{- 2}{x + 3} + \frac{2}{x - 3}$